線形微分方程式に関する問題

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int {e}^{x}\sin xdx } }$

■答

$3$\displaystyle{I=\displaystyle{ \int {e}^{x}\sin xdx }=\displaystyle{ \int { $ {e}^{x} $ }^{\prime }\sin xdx }}$ とおき，部分積分をする．

$3$\displaystyle{I}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int { $ {e}^{x} $ }^{\prime }\sin xdx }}$

　 $3$\displaystyle{={e}^{x}\sin x- \displaystyle{ \int {e}^{x}\cos xdx }}$ 　

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}\displaystyle{ \int {e}^{x}\cos xdx }=\displaystyle{ \int { $ {e}^{x} $ }^{\prime }\cos xdx }& \vspace{6}\\ & \vspace{6}\\ \end{array}}$ とおき，もう一度部分積分を行う．

$3$\displaystyle{I}$ $3$\displaystyle{={e}^{x}\sin x- $ {e}^{x}\cos x- \displaystyle{ \int {e}^{x} \( - \sin x $ dx } \) }$ 　

　 $3$\displaystyle{={e}^{x}\sin x- {e}^{x}\cos x- \displaystyle{ \int {e}^{x}\sin xdx }}$ 　

よって

$3$\displaystyle{I={e}^{x}\sin x- {e}^{x}\cos x- I}$

右辺の $3$\displaystyle{I}$ を移項すると

$3$\displaystyle{2I={e}^{x}\sin x- {e}^{x}\cos x}$

$3$\displaystyle{I=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ {e}^{x}\sin x- {e}^{x}\cos x $ }$

したがって

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int {e}^{x}\sin xdx }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{e}^{x} $ \sin x- \cos x $ }$

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最終更新日： 2023年10月9日

$3$\displaystyle{I}$	$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int { \( {e}^{x} \) }^{\prime }\sin xdx }}$
	$3$\displaystyle{={e}^{x}\sin x- \displaystyle{ \int {e}^{x}\cos xdx }}$

$3$\displaystyle{I}$	$3$\displaystyle{={e}^{x}\sin x- \( {e}^{x}\cos x- \displaystyle{ \int {e}^{x} \( - \sin x \) dx } \) }$
	$3$\displaystyle{={e}^{x}\sin x- {e}^{x}\cos x- \displaystyle{ \int {e}^{x}\sin xdx }}$