微分演算子，逆演算子に関する問題

■問題

次の逆演算子の計算をせよ．

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D+2 \hspace{2}}\cos 3x}$

■答

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 13 \hspace{2}} $ 2\cos 3x+3\sin 3x $ }$

■ヒント

■解き方

$3$\displaystyle{y}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D+2 \hspace{2}}\cos 3x}$ $3$\displaystyle{={e}^{ - 2x }\int {e}^{ 2x }\cos 3xdx }$

この公式を使うと便利である

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}\displaystyle{\int {e}^{ {\alpha}x }\cos {\beta}xdx=\frac{\hspace{2} {e}^{ {\alpha}x } \hspace{2}}{\hspace{2} {{\alpha}}^{2}+{{\beta}}^{2} \hspace{2}} $ {\alpha}\cos {\beta}x+{\beta}\sin {\beta}x $ }& \vspace{6}\\ \displaystyle{\int {e}^{ {\alpha}x }\sin {\beta}xdx=\frac{\hspace{2} {e}^{ {\alpha}x } \hspace{2}}{\hspace{2} {{\alpha}}^{2}+{{\beta}}^{2} \hspace{2}} $ {\alpha}\sin {\beta}x- {\beta}\cos {\beta}x $ }& \vspace{6}\\ \end{array} }$

$3$\displaystyle{={e}^{ - 2x }\frac{\hspace{2} {e}^{ 2x } \hspace{2}}{\hspace{2} {2}^{2}+{3}^{2} \hspace{2}} $ 2\cos 3x+3\sin 3x $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 13 \hspace{2}} $ 2\cos 3x+3\sin 3x $ }$

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最終更新日： 2023年6月28日