微分演算子，逆演算子に関する問題

■問題

次の計算をせよ．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D+2 \hspace{2}}\cos 3x+i\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D+2 \hspace{2}}\sin 3x}$

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 13 \hspace{2}} $ 2\cos 3x+3\sin 3x $ +\frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2} 13 \hspace{2}} $ 2\sin 3x }$ $3$\displaystyle{ - 3\cos 3x $ }$

■ヒント

逆演算子の公式を用いる．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D+2 \hspace{2}} $ \cos 3x+i\sin 3x $ }$

■解き方

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D+2 \hspace{2}}\cos 3x+i\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D+2 \hspace{2}}\sin 3x}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D+2 \hspace{2}} $ \cos 3x+i\sin 3x $ }$

(オイラーの公式 $3$\displaystyle{{e}^{ i{\theta} }=\cos {\theta}+i\sin {\theta}}$ )

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} D+2 \hspace{2}}{e}^{ 3ix }}$

(この公式を参照)

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3i+2 \hspace{2}}{e}^{ 3ix }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 2- 3i \hspace{2}}{\hspace{2} 13 \hspace{2}} $ \cos 3x+i\sin 3x $ }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 13 \hspace{2}} $ 2\cos 3x+3\sin 3x $ +\frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2} 13 \hspace{2}} $ 2\sin 3x }$ $3$\displaystyle{ - 3\cos 3x $ }$

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最終更新日： 2023年6月28日