微分演算子，逆演算子に関する問題

■問題

次の計算をせよ．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}- D- 2 \hspace{2}} $ {x}^{2}- 2x- 3 $ }$

■答

$3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ {x}^{2}- 3x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$

■ヒント

逆演算子をべき級すうに変換する方法を用いて計算をする．このマクローリン展開の計算例が参考になる．

■解き方

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}- D- 2 \hspace{2}} $ {x}^{2}- 2x- 3 $ }$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1- \frac{\hspace{2} D- {D}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}} $ {x}^{2}- 2x- 3 $ }$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ 1- \frac{\hspace{2} D- {D}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+{ $ \frac{\hspace{2} D- {D}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{2}+\cdot \cdot \cdot \} $ {x}^{2}- 2x- 3 $ }$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ 1- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}D+\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{D}^{2}- \cdot \cdot \cdot $ $ {x}^{2}- 2x- 3 $ }$

ここで

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}D $ {x}^{2}- 2x- 3 $ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ 2x- 2 $ =- x+1}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{D}^{2} $ {x}^{2}- 2x- 3 $ =\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cdot 2=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ {x}^{2}- 2x- 3- x+1+\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ {x}^{2}- 3x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$

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最終更新日： 2023年6月29日