式の導出

$3$\displaystyle{ F\left({x}\right) }$ が多項式である定数係数線形非同次微分方程式 $3$\displaystyle{ f\left({D}\right)y=F\left({x}\right) }$ において

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f\left({t}\right) \hspace{2}}=\hspace{1}{a}_{0}+\hspace{1}{a}_{1}t+\hspace{1}{a}_{2}{t}^{2}+\cdots }$ $3$\displaystyle{ +\hspace{1}{a}_{r}{t}^{r}+g\left({t}\right){t}^{ r+1 } }$ 　(ただし， $3$\displaystyle{ g\left({t}\right) }$ は多項式)　　･･････(1)

と表されるとき，逆演算子 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f\left({D}\right) \hspace{2}} }$ は

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f\left({D}\right) \hspace{2}}=\hspace{1}{a}_{0}+\hspace{1}{a}_{1}D+\hspace{1}{a}_{2}{D}^{2}+\cdots }$ $3$\displaystyle{ +\hspace{1}{a}_{r}{D}^{r} }$ 　･･････(2)

となる．

■導出

(1)より

$3$\displaystyle{ f\left({t}\right)\left({ \hspace{1}{a}_{0}+\hspace{1}{a}_{1}t+\hspace{1}{a}_{2}{t}^{2}+\cdots +\hspace{1}{a}_{r}{t}^{r}+g\left({t}\right){t}^{ r+1 } }\right)=1 }$ 　･･････(3)

となる．微分演算子は，多項式の同様に，和，定数倍，積が成り立つので

$3$\displaystyle{ f\left({D}\right)\left({ \hspace{1}{a}_{0}+\hspace{1}{a}_{1}D+\hspace{1}{a}_{2}{D}^{2}+\cdots +\hspace{1}{a}_{r}{D}^{r}+g\left({D}\right){D}^{ r+1 } }\right)=1 }$ 　･･････(4)

が成り立つ． $3$\displaystyle{ F\left({x}\right) }$ に(4)の両辺の微分演算子をほどこすと

となる．以下のように微分演算子の計算を進める．

$3$\displaystyle{ f\left({D}\right)\left{{ \hspace{1}{a}_{0}F\left({x}\right)+\hspace{1}{a}_{1}DF\left({x}\right)+\hspace{1}{a}_{2}{D}^{2}F\left({x}\right)+\cdots +\hspace{1}{a}_{r}{D}^{r}F\left({x}\right)+g\left({D}\right){D}^{ r+1 }F\left({x}\right) }\right}=F\left({x}\right) }$

$3$\displaystyle{ F\left({x}\right) }$ は $3$\displaystyle{r}$ 次の多項式であるので， $3$\displaystyle{ {D}^{ r+1 }F\left({x}\right)=0 }$ である．よって

$3$\displaystyle{ f\left({D}\right)\left({ \hspace{1}{a}_{0}+\hspace{1}{a}_{1}D+\hspace{1}{a}_{2}{D}^{2}+\cdots +\hspace{1}{a}_{r}{D}^{r} }\right)F\left({x}\right)=F\left({x}\right) }$ 　･･････(5)

$3$\displaystyle{ \left({ \hspace{1}{a}_{0}+\hspace{1}{a}_{1}D+\hspace{1}{a}_{2}{D}^{2}+\cdots +\hspace{1}{a}_{r}{D}^{r} }\right)F\left({x}\right) }$ は $3$\displaystyle{x}$ の関数で

$3$\displaystyle{ z=\left({ \hspace{1}{a}_{0}+\hspace{1}{a}_{1}D+\hspace{1}{a}_{2}{D}^{2}+\cdots +\hspace{1}{a}_{r}{D}^{r} }\right)F\left({x}\right) }$ $3$\displaystyle{ f\left({D}\right)z=F\left({x}\right) }$ 　･･････(6)

とおくと

$3$\displaystyle{ f\left({D}\right)z=F\left({x}\right) }$ 　･･････(7)

となり，逆演算子の考えを用いて(7)を書き直すと

$3$\displaystyle{ z=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f\left({D}\right) \hspace{2}}F\left({x}\right) }$ 　　･･････(8)

と表現できる．(6)，(8)より

$3$\displaystyle{ \left({ \hspace{1}{a}_{0}+\hspace{1}{a}_{1}D+\hspace{1}{a}_{2}{D}^{2}+\cdots +\hspace{1}{a}_{r}{D}^{r} }\right)F\left({x}\right) }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f\left({D}\right) \hspace{2}}F\left({x}\right) }$

が得られ，したがって

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} f\left({D}\right) \hspace{2}}=\hspace{1}{a}_{0}+\hspace{1}{a}_{1}D+\hspace{1}{a}_{2}{D}^{2}+\cdots +\hspace{1}{a}_{r}{D}^{r} }$

となる．

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　最終更新日： 2024年10月7日