定数係数線形非同次微分方程式

$3$\displaystyle{n}$ 階線形非同次微分方程式

$3$\displaystyle{{y}^{ $n$ }+\hspace{1}{A}_{ n- 1 } $x$ {y}^{ $ n- 1 $ }+\cdots }$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{A}_{1} $x$ {y}^{\prime }+\hspace{1}{A}_{0} $x$y }$ $3$\displaystyle{=F $x$ }$ ･･････（1）

の特殊解を $3$\displaystyle{\hspace{1}{Y}_{0} $x$ }$ とする．線形同次微分方程式

$3$\displaystyle{{y}^{ $n$ }+\hspace{1}{A}_{ n- 1 } $x$ {y}^{ $ n- 1 $ }+\cdots }$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{A}_{1} $x$ {y}^{\prime }+\hspace{1}{A}_{0} $x$y =0}$

の一般解を

$3$\displaystyle{u $ x,\hspace{1}{c}_{1},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{c}_{n} $ }$ 　　( $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1},\cdots ,\hspace{1}{c}_{n}}$ は任意定数)

とする．このとき，微分方程式（1）の一般解は

$3$\displaystyle{y=u $ x,\hspace{1}{c}_{1},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{c}_{n} $ +\hspace{1}{Y}_{0} $x$ }$

■線形微分方程式の解法

$3$\displaystyle{n}$ 階線形微分方程式

の一般解は次のようにして求められる．

(1) $3$\displaystyle{{y}^{ $n$ }+\hspace{1}{A}_{ n- 1 } $x$ {y}^{ $ n- 1 $ }+\cdots }$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{A}_{1} $x$ {y}^{\prime }+\hspace{1}{A}_{0} $x$y =0}$ の $3$\displaystyle{n}$ 個の解で1次独立な $3$\displaystyle{\hspace{1}{u}_{1} $x$ ,\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{u}_{n} $x$ }$ を求める．

(2) $3$\displaystyle{{y}^{ $n$ }+\hspace{1}{A}_{ n- 1 } $x$ {y}^{ $ n- 1 $ }+\cdots }$ $3$\displaystyle{+\hspace{1}{A}_{1} $x$ {y}^{\prime }+\hspace{1}{A}_{0} $x$y }$ $3$\displaystyle{=F $x$ }$ の特殊解 $3$\displaystyle{\hspace{1}{Y}_{0} $x$ }$ を求める．

(3) 求める一般解は $3$\displaystyle{y=\hspace{1}{c}_{1}\hspace{1}{u}_{1} $x$ +\cdot \cdot \cdot +\hspace{1}{c}_{n}\hspace{1}{u}_{n} $x$ +\hspace{1}{Y}_{0} $x$ }$ 　ただし， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{1},\cdot \cdot \cdot ,\hspace{1}{c}_{n} }$ は任意定数である．

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　最終更新日： 2023年6月13日