定数係数線形同次微分方程式

$3$\displaystyle{{D}^{n}y=0}$ の一般解は
$3$\displaystyle{y=\hspace{1}{c}_{0}+\hspace{1}{c}_{1}x+\hspace{1}{c}_{2}{x}^{2}+\cdots +\hspace{1}{c}_{ n- 1 }{x}^{ n- 1 }}$
となる．⇒導出　
$3$\displaystyle{{ $ D- \alpha $ }^{n}y=0}$ の一般解は
$3$\displaystyle{y= $ \hspace{1}{c}_{0}+\hspace{1}{c}_{1}x+\hspace{1}{c}_{2}{x}^{2}+\cdots +\hspace{1}{c}_{ n- 1 }{x}^{ n- 1 } $ {e}^{ \alpha x }}$
となる．⇒導出
2階定数係数同次微分方程式　⇒詳細はこちら
$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }+a{y}^{\prime }+by=0}$

の一般解は，特性方程式 $3$\displaystyle{{t}^{2}+at+b=0}$ の解が

(1)実数解 $3$\displaystyle{{\alpha},{\beta} $ {\alpha}\neq {\beta} $ }$ の場合

$3$\displaystyle{y=\hspace{1}{c}_{1}{e}^{ {\alpha}x }+\hspace{1}{c}_{2}{e}^{ {\beta}x }}$
(2)実数解 $3$\displaystyle{{\alpha}}$ (2重解)の場合
$3$\displaystyle{y= $ \hspace{1}{c}_{1}+\hspace{1}{c}_{2}x $ {e}^{ {\alpha}x }}$

(3)虚数解 $3$\displaystyle{{\lambda}\pm {\mu}i}$ の場合

$3$\displaystyle{y=\hspace{1}{c}_{1}{e}^{ {\lambda}x }\sin {\mu}x+\hspace{1}{c}_{2}{e}^{ {\lambda}x }\cos {\mu}x}$

学生スタッフ作成
最終更新日： 2024年5月17日