$3$\displaystyle{{ $ D- \alpha $ }^{n}y=0}$ の一般解

$3$\displaystyle{{ $ D- \alpha $ }^{n}y=0}$ の一般解は

$3$\displaystyle{y= $ \hspace{1}{c}_{0}+\hspace{1}{c}_{1}x+\hspace{1}{c}_{2}{x}^{2}+\cdots +\hspace{1}{c}_{ n- 1 }{x}^{ n- 1 } $ {e}^{ \alpha x }}$

となる．

■導出

$3$\displaystyle{{ $ D- \alpha $ }^{n}y=0}$

$3$\displaystyle{{ $ D- \alpha $ }^{n} \[ 1\cdot y \] =0}$

$3$\displaystyle{{e}^{ \alpha x }{e}^{ - \alpha x }=1}$ より

$3$\displaystyle{{ $ D- \alpha $ }^{n} \[ {e}^{ \alpha x }{e}^{ - \alpha x }y \] =0}$ ･･････(1)

となる． $3$\displaystyle{{e}^{ - \alpha x }y=z}$ とおき，(1)に代入すると

$3$\displaystyle{{ $ D- \alpha $ }^{n} \[ {e}^{ \alpha x }z \] =0}$

となる．微分演算子の基本公式

$3$\displaystyle{f $D$ \[ {e}^{ \alpha x }y \] ={e}^{ \alpha x }f $ D+\alpha $ y}$

より

$3$\displaystyle{{e}^{ \alpha x }{ \{ $ D+\alpha $ - \alpha \} }^{n}z=0}$

$3$\displaystyle{{e}^{ \alpha x }{D}^{n}z=0}$

$3$\displaystyle{{e}^{ \alpha x }\neq 0}$ より，両辺を $3$\displaystyle{{e}^{ \alpha x }}$ で割ると

$3$\displaystyle{{D}^{n}z=0}$

$3$\displaystyle{{D}^{n}y=0}$ の一般解より

$3$\displaystyle{z= $ \hspace{1}{c}_{0}+\hspace{1}{c}_{1}x+\hspace{1}{c}_{2}{x}^{2}+\cdots +\hspace{1}{c}_{ n- 1 }{x}^{ n- 1 } $ }$ ･･････(2)

$3$\displaystyle{z={e}^{ - \alpha x }y}$ であるので(2)は

$3$\displaystyle{{e}^{ - \alpha x }y= $ \hspace{1}{c}_{0}+\hspace{1}{c}_{1}x+\hspace{1}{c}_{2}{x}^{2}+\cdots +\hspace{1}{c}_{ n- 1 }{x}^{ n- 1 } $ }$

となる． $3$\displaystyle{{e}^{ - \alpha x }\neq 0}$ より，両辺を $3$\displaystyle{{e}^{ - \alpha x }}$ で割ると

$3$\displaystyle{y= $ \hspace{1}{c}_{0}+\hspace{1}{c}_{1}x+\hspace{1}{c}_{2}{x}^{2}+\cdots +\hspace{1}{c}_{ n- 1 }{x}^{ n- 1 } $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ - \alpha x } \hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{y= $ \hspace{1}{c}_{0}+\hspace{1}{c}_{1}x+\hspace{1}{c}_{2}{x}^{2}+\cdots +\hspace{1}{c}_{ n- 1 }{x}^{ n- 1 } $ {e}^{ \alpha x }}$

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最終更新日： 2024年5月17日