微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{ y=\frac{\hspace{2} {x}^{2}+2x+3 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{x} \hspace{2}} }$

■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2} 3{x}^{2}+2x- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} 2x\sqrt{x} \hspace{2}}}$

（あるいは， $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{x}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\sqrt{x}\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} 2x\sqrt{x} \hspace{2}} }$ でもよい．）

■ヒント

分数関数の微分?U

$3$\displaystyle{ { \{ \frac{\hspace{2} h $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} g $x$ \hspace{2}} \} }^{\prime }=\frac{\hspace{2} {h}^{\prime } $x$ g $x$ - h $x$ {g}^{\prime } $x$ \hspace{2}}{\hspace{2} g{ $x$ }^{2} \hspace{2}} }$

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ y=\frac{\hspace{2} {x}^{2}+2x+3 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{x} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=\frac{\hspace{2} {\left({ {x}^{2}+2x+3 }\right)}^{\prime }\sqrt{x}- \left({ {x}^{2}+2x+3 }\right){\left({\sqrt{x}}\right)}^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2}{\left({\sqrt{x}}\right)}^{2}\hspace{2}} }$

(分数関数の微分?Uを参照)

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \left({ 2x+2 }\right)\sqrt{x}- \left({ {x}^{2}+2x+3 }\right)\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{x} \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2} 2\left({ 2x+2 }\right)x \hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{x} \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}\left({ {x}^{2}+2x+3 }\right)\hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{x} \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 3{x}^{2}+2x- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} 2x\sqrt{x} \hspace{2}} }$

●別解

$3$\displaystyle{ y=\frac{\hspace{2} {x}^{2}+2x+3 \hspace{2}}{\hspace{2}\sqrt{x}\hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ ={x}^{\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}+{ 2x }^{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}+{ 3x }^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } }$

と変形する．

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}+{x}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } }$ $3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\sqrt{x}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\sqrt{x}\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} 2x\sqrt{x} \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 3{x}^{2}+2x- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} 2x\sqrt{x} \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2023年10月7日