微分の計算問題

■問題

次の関数を微分せよ．

$3$\displaystyle{ y={e}^{ - x } }$

■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=- {e}^{ - x }}$

■ヒント

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{y={e}^{ - x }}$ を $3$\displaystyle{y={e}^{u}}$ , $3$\displaystyle{u=- x}$ とおく．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}={e}^{u}}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- 1}$

よって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={e}^{u}\cdot $ - 1 $ }$ $3$\displaystyle{=- {e}^{ - x }}$

●別解

合成関数の微分

$3$\displaystyle{{ \{ f $ g \(x$ \) \} }^{\prime }={f}^{\prime } $ g \(x$ \) {g}^{\prime } $x$ }$

の公式を用いた場合

$3$\displaystyle{y={e}^{ - x }}$ ， $3$\displaystyle{f $u$ ={e}^{u}}$ ， $3$\displaystyle{u=g $x$ =- x}$

と考える．

$3$\displaystyle{{f}^{\prime } $u$ ={e}^{u}}$ 　→　 $3$\displaystyle{{f}^{\prime } $ g \(x$ \) ={e}^{ - x }}$ ， $3$\displaystyle{{g}^{\prime } $x$ =- 1}$

となる．よって

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }={f}^{\prime } $ g \(x$ \) {g}^{\prime } $x$ }$ $3$\displaystyle{={e}^{ - x }\cdot $ - 1 $ }$ $3$\displaystyle{=- {e}^{ - x }}$

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最終更新日： 2021年3月22日