微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{x={t}^{2}+\frac{\hspace{2}6\hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{3} \hspace{2}}}$

■答

$3$\displaystyle{{x}^{\prime }=2t $ 1- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{5} \hspace{2}} $ }$

■ヒント

微分の公式を利用して解く．

■解説

$3$\displaystyle{x={t}^{2}+\frac{\hspace{2}6\hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{3} \hspace{2}}}$

微分の公式を用いる．

$3$\displaystyle{{x}^{\prime }={ $ {t}^{2} $ }^{\prime }+{ $ \frac{\hspace{2}6\hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{3} \hspace{2}} $ }^{\prime }}$

$3$\displaystyle{=2t+{ $ 6{t}^{ - 3 } $ }^{\prime }}$

$3$\displaystyle{={ $ {t}^{2} $ }^{\prime }+6{ $ {t}^{ - 3 } $ }^{\prime }}$

$3$\displaystyle{= $ 2t $ +6\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} } $ - 3{t}^{ - 4 } $ }$

$3$\displaystyle{=2t- \frac{\hspace{2} 18 \hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{4} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=2t $ 1- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{5} \hspace{2}} $ }$

●別解

$3$\displaystyle{{x}^{\prime }={ $ {t}^{2} $ }^{\prime }+{ $ \frac{\hspace{2}6\hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{3} \hspace{2}} $ }^{\prime }}$

分数の導関数の公式を用いる．

$3$\displaystyle{=2t+ \{ \frac{\hspace{2} { $6$ }^{\prime }{t}^{3}- 6{ $ {t}^{3} $ }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {t}^{3} $ }^{2} \hspace{2}} \} }$

$3$\displaystyle{=2t+ \{ \frac{\hspace{2} $0$ \text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{t}^{3}- 6\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} } $ 3{t}^{2} $ \hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{6} \hspace{2}} \} }$

$3$\displaystyle{=2t+ $ - \frac{\hspace{2} 18{t}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{6} \hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{=2t- \frac{\hspace{2} 18{t}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{6} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=2t $ 1- \frac{\hspace{2} 9t \hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{6} \hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{=2t $ 1- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{5} \hspace{2}} $ }$

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最終更新日： 2023年10月7日