微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{y={x}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3n \hspace{2}} }}$ （ $3$\displaystyle{n}$ は自然数とする．）

■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3n\text{\hspace{1}} \hspace{2}}{x}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3n \hspace{2}}- 1 }}$

■ヒント

公式： $3$\displaystyle{{ $ {x}^{α} $ }^{\prime }=α{x}^{ α- 1 }}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

逆関数の導関数を用いて計算することもできる．

■解説

$3$\displaystyle{y={x}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3n \hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3n \hspace{2}}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{x}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3n \hspace{2}}- 1 }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3n \hspace{2}}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{x}^{ - $ 1- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3n \hspace{2}} $ }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3n\text{\hspace{1}} \hspace{2}}{x}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3n \hspace{2}}- 1 }}$

●別解

$3$\displaystyle{y={x}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3n \hspace{2}} }}$

両辺を３n乗する．

$3$\displaystyle{{y}^{ 3n }=x}$

$3$\displaystyle{x={y}^{ 3n }}$

両辺を $3$y$ で微分する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}=3n\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{y}^{ 3n- 1 }}$

逆関数の導関数より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3n\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{y}^{ 3n- 1 } \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3n\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{ $ {x}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3n \hspace{2}} } $ }^{ 3n- 1 } \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3n\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{x}^{ \frac{\hspace{2} 3n- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} 3n \hspace{2}} } \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3n\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{x}^{ 1- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3n \hspace{2}} } \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3n\text{\hspace{1}} \hspace{2}}{x}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3n \hspace{2}}- 1 }}$

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最終更新日： 2025年3月8日