微分の計算問題

■問題

次の関数の第2次導関数を求めよ．

$3$\displaystyle{y={e}^{ 3x }\cos 6x}$

■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }=- 9{e}^{ 3x } $ 4\sin 6x+3\cos 6x $ }$

■ヒント

合成関数の微分の公式を用いて解く．

■解説

$3$\displaystyle{y={e}^{ 3x }\cos 6x}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }={ $ {e}^{ 3x } $ }^{\prime }\cos 6x+{e}^{ 3x }{ $ \cos 6x $ }^{\prime }}$

(関数の積の微分の公式を用いる)

$3$\displaystyle{=3{e}^{ 3x }\cos 6x+{e}^{ 3x } $ - 6\sin 6x $ }$

$3$\displaystyle{=3{e}^{ 3x } $ \cos 6x- 2\sin 6x $ }$

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime\prime }=3{ $ {e}^{ 3x } $ }^{\prime } $ \cos 6x- 2\sin 6x $ }$ $3$\displaystyle{+3{e}^{ 3x }{\left({ \cos 6x- 2\sin 6x }\right)}^{\prime }}$

$3$\displaystyle{ =3\cdot $ 3{e}^{ 3x } $ $ \cos 6x- 2\sin 6x $ }$ $3$\displaystyle{+3{e}^{ 3x }\left({ - 6\sin 6x- 12\cos 6x }\right)}$

$3$\displaystyle{=9{e}^{ 3x }\left{{ \left({ \cos 6x- 2\sin 6x }\right)+\left({ - 2\sin 6x- 4\cos 6x }\right) }\right}}$

$3$\displaystyle{=9{e}^{ 3x } $ - 4\sin 6x- 3\cos 6x $ }$

$3$\displaystyle{=- 9{e}^{ 3x } $ 4\sin 6x+3\cos 6x $ }$

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年10月9日