微分の計算問題

■問題

次の関数の第2次導関数を求めよ．

$3$\displaystyle{ y={e}^{ ax }\cos bx }$

■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime } ={e}^{ ax } \{ \left({ {a}^{2}- {b}^{2} }\right)\cos bx- 2ab \sin bx \} }$

■ヒント

合成関数の微分の公式を利用して解く．

■解説

$3$\displaystyle{y={e}^{ ax }\cos bx}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }={ $ {e}^{ ax } $ }^{\prime }\cos bx+{e}^{ ax }{ $ \cos bx $ }^{\prime }}$

$3$\displaystyle{\displaystyle{=a{e}^{ ax }\cos bx+{e}^{ ax }\left({ - b\sin bx }\right)}}$

$3$\displaystyle{={e}^{ ax } $ a\cos bx- b\sin bx $ }$

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime\prime }={ $ {e}^{ ax } $ }^{\prime } $ a\cos bx- b\sin bx $ }$ $3$\displaystyle{ +{e}^{ ax } $ a\cos bx }$ $3$\displaystyle{ { - b\sin bx $ }^{\prime } }$

$3$\displaystyle{ =a{e}^{ ax }$a\cos bx- b\sin bx$ }$ $3$\displaystyle{ +{e}^{ ax } $ - ab\sin bx }$ $3$\displaystyle{ - {b}^{2}\cos bx $ }$

$3$\displaystyle{ ={e}^{ ax } \{ \left({ {a}^{2}- {b}^{2} }\right)\cos bx- 2ab \sin bx \} }$

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最終更新日： 2023年10月9日