微分の計算問題

■問題

次の関数を微分せよ．

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2} \sin 2x- 4\cos x \hspace{2}}{\hspace{2} 2\sin x\cos x \hspace{2}}}$

■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2} 2\cos x \hspace{2}}{\hspace{2} { \sin }^{2}x \hspace{2}}}$

■ヒント

三角関数の角度を $3$\displaystyle{ x }$ に統一してから微分する．

■解説

$3$\displaystyle{ y=\frac{\hspace{2} \sin 2x- 4\cos x \hspace{2}}{\hspace{2} 2\sin x\cos x \hspace{2}} }$

（ $3$\displaystyle{ \sin 2x=2\sin x\cos x }$ ⇒ここを参照）

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 2\sin x\cos x- 4\cos x \hspace{2}}{\hspace{2} 2\sin x\cos x \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 2\sin x\cos x \hspace{2}}{\hspace{2} 2\sin x\cos x \hspace{2}}- \frac{\hspace{2} - 4\cos x \hspace{2}}{\hspace{2} 2\sin x\cos x \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =1- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} \sin x \hspace{2}} }$

このように式を整理してから微分する．

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }={ $1$ }^{\prime }- {\left({\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}}\right)}^{\prime } }$

$3$\displaystyle{ =0- 2\left{{ - \frac{\hspace{2}{\left({ \sin x }\right)}^{\prime }\hspace{2}}{\hspace{2}{\left({ \sin x }\right)}^{2}\hspace{2}} }\right} }$

$3$\displaystyle{ =2\frac{\hspace{2} \cos x \hspace{2}}{\hspace{2} {\sin }^{2}x \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} 2\cos x \hspace{2}}{\hspace{2} {\sin }^{2}x \hspace{2}} }$

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最終更新日： 2023年10月9日