微分に関する問題

■問題

次の関数の $3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }}$ を $3$\displaystyle{x}$ を用いずに， $3$\displaystyle{y}$ ， $3$\displaystyle{{y}^{\prime }}$ を用いて表せ．

$3$\displaystyle{ y={e}^{ ax }\cos bx }$

■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }=- $ {a}^{2}+{b}^{2} $ y+2a{y}^{\prime }}$

■ヒント

合成関数の微分の公式を利用して解く．

■解説

$3$\displaystyle{y={e}^{ ax }\cos bx}$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }={ $ {e}^{ ax } $ }^{\prime }\cos bx+{e}^{ ax }{ $ \cos bx $ }^{\prime }}$

$3$\displaystyle{=a{e}^{ ax }\cos bx- b{e}^{ ax }\sin bx}$

$3$\displaystyle{={e}^{ ax } $ a\cos bx- b\sin bx $ }$ ･･････(2)

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime\prime }={ $ {e}^{ ax } $ }^{\prime } $ a\cos bx- b\sin bx $ }$ $3$\displaystyle{ +{e}^{ ax } $ a\cos bx }$ $3$\displaystyle{ { - b\sin bx $ }^{\prime } }$

$3$\displaystyle{ =a{e}^{ ax } $ a\cos bx- b\sin bx $ }$ $3$\displaystyle{ +{e}^{ ax } $ - ab\sin bx }$ $3$\displaystyle{ - {b}^{2}\cos bx $ }$

$3$\displaystyle{ ={a}^{2}{e}^{ ax }\cos bx- 2ab{e}^{ ax }\sin bx }$ $3$\displaystyle{ - {b}^{2}{e}^{ ax }\cos bx }$

$3$\displaystyle{= $ {a}^{2}- {b}^{2} $ {e}^{ ax }\cos bx- 2ab{e}^{ ax }\sin bx}$ ･･････(3)

(1)より

$3$\displaystyle{{e}^{ ax }\cos bx=y}$ ･･････(4)

(4)，(2)より

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=ay- b{e}^{ ax }\sin bx}$

$3$\displaystyle{b{e}^{ ax }\sin bx=ay- {y}^{\prime }}$ ･･････(5)

(4)，(5)を(3)に代入する．

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }= $ {a}^{2}- {b}^{2} $ y- 2a $ ay- {y}^{\prime } $ }$

$3$\displaystyle{={a}^{2}y- {b}^{2}y- 2{a}^{2}y+2a{y}^{\prime }}$

$3$\displaystyle{=- $ {a}^{2}+{b}^{2} $ y+2a{y}^{\prime }}$

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分に関する演習問題>>微分の計算問題>>この問題

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年10月9日