微分の計算問題

■問題

以下のように $3$\displaystyle{f $x$ }$ ， $3$\displaystyle{g $x$ }$ を置くとき， $3$\displaystyle{f $0$ =g $0$ }$ ， $3$\displaystyle{{f}^{\prime } $0$ ={g}^{\prime } $0$ }$ ， $3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime } $0$ ={g}^{\prime\prime } $0$ }$ を満たす $3$\displaystyle{a}$ ， $3$\displaystyle{b}$ ， $3$\displaystyle{c}$ を求めよ．

$3$\displaystyle{f $x$ =3\sin x+2}$ ， $3$\displaystyle{g $x$ =\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} b{x}^{2}+cx+3 \hspace{2}}}$

■答

$3$\displaystyle{ a=6 }$ ， $3$\displaystyle{ b=\frac{\hspace{2}27\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }$ ， $3$\displaystyle{c=- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

■ヒント

$3$\displaystyle{f $0$ =g $0$ }$ ， $3$\displaystyle{{f}^{\prime } $0$ ={g}^{\prime } $0$ }$ ， $3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime } $0$ ={g}^{\prime\prime } $0$ }$ の条件を式にする．

■解説

$3$\displaystyle{\hspace{5}f\hspace{5} $0$ =3\sin 0+2=2}$

$3$\displaystyle{g $0$ =\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2} b\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{0}^{2}+c\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }0+3 \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

条件 $3$\displaystyle{f $0$ =g $0$ }$ より

$3$\displaystyle{2=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{a=6}$

よって

$3$\displaystyle{g $x$ =\frac{\hspace{2}6\hspace{2}}{\hspace{2} b{x}^{2}+cx+3 \hspace{2}}}$

また

$3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ =3\cos x}$

$3$\displaystyle{{g}^{\prime } $x$ =\frac{\hspace{2} {6}^{\prime } $ b{x}^{2}+cx+3 $ - 6{ $ b{x}^{2}+cx+3 $ }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} { $ b{x}^{2}+cx+3 $ }^{2} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} 6 $ 2bx+c $ \hspace{2}}{\hspace{2} { $ b{x}^{2}+cx+3 $ }^{2} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} 12bx+6c \hspace{2}}{\hspace{2} { $ b{x}^{2}+cx+3 $ }^{2} \hspace{2}}}$

（分数の導関数の微分の公式を用いる．）

よって

$3$\displaystyle{{f}^{\prime } $0$ =3\cos 0}$ $3$\displaystyle{=3}$

$3$\displaystyle{{g}^{\prime } $0$ =- \frac{\hspace{2} 12b\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }0+6c \hspace{2}}{\hspace{2} { $ b\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{0}^{2}+c\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }0+3 $ }^{2} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} 6c \hspace{2}}{\hspace{2} {3}^{2} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}c}$

条件 $3$\displaystyle{{f}^{\prime } $0$ ={g}^{\prime } $0$ }$ より

$3$\displaystyle{3=- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}c}$

$3$\displaystyle{c=- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{{g}^{\prime } $x$ =- \frac{\hspace{2} 12bx- 27 \hspace{2}}{\hspace{2} { $ b{x}^{2}- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x+3 $ }^{2} \hspace{2}}}$

また

$3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime } $x$ =- 3\sin x}$

$3$\displaystyle{{g}^{\prime\prime } $x$ =- \frac{\hspace{2} { $ 12bx- 27 $ }^{\prime }{ $ b{x}^{2}- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x+3 $ }^{2}- $ 12bx- 27 $ { \{ { $ b{x}^{2}- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x+3 $ }^{2} \} }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} { \{ { $ b{x}^{2}- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x+3 $ }^{2} \} }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} 12b{ $ b{x}^{2}- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x+3 $ }^{2}- $ 12bx- 27 $ \text{\hspace{1}}\cdot \text{\hspace{1}}2 $ b{x}^{2}- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x+3 $ \text{\hspace{1}}\cdot \text{\hspace{1}} $ 2bx- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \hspace{2}}{\hspace{2} { $ b{x}^{2}- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}x+3 $ }^{4} \hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime } $0$ =- 3\sin 0}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{{g}^{\prime\prime } $0$ =\frac{\hspace{2} 12b{ $ b\text{\hspace{1}}\cdot \text{\hspace{1}}{0}^{2}- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\text{\hspace{1}}\cdot \text{\hspace{1}}0+3 $ }^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ b\text{\hspace{1}}\cdot \text{\hspace{1}}{0}^{2}- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\text{\hspace{1}}\cdot \text{\hspace{1}}0+3 $ }^{4} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2} $ 12b\text{\hspace{1}}\cdot \text{\hspace{1}}0- 27 $ \text{\hspace{1}}\cdot \text{\hspace{1}}2 $ b\text{\hspace{1}}\cdot \text{\hspace{1}}{0}^{2}- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\text{\hspace{1}}\cdot \text{\hspace{1}}0+3 $ $ 2b\text{\hspace{1}}\cdot \text{\hspace{1}}0- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \hspace{2}}{\hspace{2} { $ b\text{\hspace{1}}\cdot \text{\hspace{1}}{0}^{2}- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\text{\hspace{1}}\cdot \text{\hspace{1}}0+3 $ }^{4} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 12b\text{\hspace{1}}\cdot \text{\hspace{1}}{3}^{2}- $ - 27 $ \text{\hspace{1}}\cdot \text{\hspace{1}}2\text{\hspace{1}}\cdot \text{\hspace{1}}3\text{\hspace{1}}\cdot \text{\hspace{1}} $ - \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \hspace{2}}{\hspace{2} {3}^{4} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 108b- 729 \hspace{2}}{\hspace{2} 81 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 4b- 27 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

条件 $3$\displaystyle{{f}^{\prime\prime } $0$ ={g}^{\prime\prime } $0$ }$ より

$3$\displaystyle{0=\frac{\hspace{2} 4b- 27 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{b=\frac{\hspace{2}27\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

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最終更新日： 2023年10月9日