内分点、外分点（複素平面）

■問題

$3$\alpha =1+3i$ ， $3${\beta}=4+2i$ とする．複素平面において，点 $3$\alpha$ と点 $3${\beta}$ を結ぶ線分を $3$2:1$ に内分する点の複素数 $3$\hspace{1}{{\gamma}}_{1}$ ， $3$3:2$ に外分する点の複素数 $3$\hspace{1}{{\gamma}}_{2}$ ， $3$1:3$ に外分する点の複素数 $3$\hspace{1}{{\gamma}}_{3}$ を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\gamma}}_{1}=3+\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}i}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\gamma}}_{2}=10}$ ， $3$\displaystyle{\hspace{1}{{\gamma}}_{3}=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i}$

■ヒント

線分の内分点，線分の外分点

■解説

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\gamma}}_{1}=\alpha +\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 2+1 \hspace{2}}\left({ {\beta}- \alpha }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ 1+3i }\right)+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left{{ \left({ 4+2i }\right)- \left({ 1+3i }\right) }\right}}$

$3$\displaystyle{=1+3i+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left({ 3- i }\right)}$

$3$\displaystyle{=3+\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}i}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\gamma}}_{2}=\alpha +\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} 3- 2 \hspace{2}}\left({ {\beta}- \alpha }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ 1+3i }\right)+3\left{{ \left({ 4+2i }\right)- \left({ 1+3i }\right) }\right}}$

$3$\displaystyle{=1+3i+3\left({ 3- i }\right)}$

$3$\displaystyle{=10}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\gamma}}_{3}=\alpha +\frac{\hspace{2} 3- 2 \hspace{2}}{\hspace{2} 1- 3 \hspace{2}}\left({ {\beta}- \alpha }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ 1+3i }\right)- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left{{ \left({ 4+2i }\right)- \left({ 1+3i }\right) }\right}}$

$3$\displaystyle{=1+3i- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ 3- i }\right)}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i}$

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最終更新日：2025年12月10日