複素平面

$複素平面$

図1

$3$xy$ 平面において， $3$x$ 軸に実数， $3$y$ 軸に虚数を対応させて，複素数を表したものを複素平面という．または，複素数平面，ガウス平面ともいう．そして， $3$x$ 軸のことを実軸， $3$y$ 軸のことを虚軸という．

複素数 $3$z=a+bi$ を複素平面上に表したものが，図1である．

$複素平面$

図2

複素平面上で複素数 $3$z$ を表す点 $3$\text{P}$ を $3$\displaystyle{\text{P}\left({z}\right)}$ と書く．複素数 $3$z$ を表す点を単に点 $3$z$ という場合もある．

複素数 $3$z$ の絶対値 $3$\displaystyle{\left|{z}\right|}$ の定義：

$3$ \|z\| = \| a+bi \| = \sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} } =r$

すなわち，複素平面上の原点 $3$\text{O}$ から点 $3$\displaystyle{\text{P}\left({z}\right)}$ までの距離 $3$r$ を複素数 $3$z$ の絶対値と定義している．

また， $3$x$ 軸の正方向と原点 $3$\text{O}$ と点 $3$\displaystyle{\text{P}\left({z}\right)}$ の結ぶ直線 $3$\displaystyle{\text{OP}}$ のなす角を $3${\theta}$ (一般角と同様に定義している) とすると，この $3${\theta}$ を $3$z$ の偏角といい， $3$\displaystyle{argz}$ で表す．

$3$\displaystyle{{\theta}=argz}$ （ただし， $3$\displaystyle{\sin {\theta}=\frac{\hspace{2}b\hspace{2}}{\hspace{2}r\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{\cos {\theta}=\frac{\hspace{2}a\hspace{2}}{\hspace{2}r\hspace{2}}}$ ）

$3$z$ を $3$r$ と $3${\theta}$ を用いても表すことができる．

$3$\displaystyle{ z=r\left({ \cos {\theta}+i\sin {\theta} }\right) }$ $3$\displaystyle{ \left({ {}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet a=r\cos {\theta},b=r\sin {\theta} }\right) }$

この表現方法を $3$z$ の極形式という．

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最終更新日： 2025年11月21日