複素数の計算

■問題

次の式を極形式で示せ．

$3$\displaystyle{ 1+\sqrt{3}i }$

■答

$3$\displaystyle{ z=2 $ \cos 60^\circ +i\sin 60^\circ $ }$

$3$\displaystyle{ z=2 $ \cos \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+i\sin \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ }$

■解説

問題を解く前に，極形式とは何かを理解する．　⇒複素平面

複素数 $3$\displaystyle{ z=a+ib }$ の絶対値 $3$\displaystyle{ \|z\| }$ は $3$\displaystyle{ \|z\| = \| a+ib \| =\sqrt{ {a}^{2}+{b}^{2} }=r }$ であるので，与式より

$3$\displaystyle{ \|z\| = \| 1+\sqrt{3}i \| =\sqrt{ {1}^{2}+{ \sqrt{3} }^{2} }=\sqrt{4}=2 }$

よって，与式より2をくくりだす．

$3$\displaystyle{ 1+\sqrt{3}i }$ $3$\displaystyle{=2\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i }\right)}$ 　　･･････(1)

極形式 $3$\displaystyle{ z=r $ \cos {\theta}+i\sin {\theta} $ }$ と(1)を比較すると

$3$\displaystyle{ \cos {\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ ， $3$\displaystyle{\sin {\theta}=\frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

となる．よって

$3${\theta}=60^\circ =\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

となり，与式は極形式で次のように表わすことができる．

$3$\displaystyle{ z=2 $ \cos 60^\circ +i\sin 60^\circ $ }$

$3$\displaystyle{ z=2 $ \cos \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+i\sin \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ }$

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最終更新日： 2023年2月25日