基本的な1次変換の問題

■問題

$3$\displaystyle{z}$ 軸のまわりに $3$\displaystyle{90^\circ }$ だけ回転する1次変換の表現行列 $3$\displaystyle{A}$ を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}0& - 1 &0& \vspace{6}\\ 1&0&0& \vspace{6}\\ 0&0&1& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

■解き方

1次変換によって点 $3$\displaystyle{ $ x,y,z $ }$ が $3$\displaystyle{ $ u,v,w $ }$ に変換されるとする．

$3$\displaystyle{z}$ 軸のまわりの回転なので $3$\displaystyle{z}$ 成分の値は変わらない．

よって $3$\displaystyle{w=z}$ である．

また， $3$\displaystyle{x}$ 成分， $3$\displaystyle{y}$ 成分は右図を参考にすると

$3$\displaystyle{u=- y}$

$3$\displaystyle{v=x}$

となる．

よって

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}u& \vspace{6}\\ v& \vspace{6}\\ w& \vspace{6}\\ \end{array} $ = $ \begin{array} - y & \vspace{6}\\ x& \vspace{6}\\ z& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ $3$\displaystyle{= $ \begin{array} 0\cdot x- 1\cdot y+0\cdot z & \vspace{6}\\ 1\cdot x+0\cdot y+0\cdot z & \vspace{6}\\ 0\cdot x+0\cdot y+1\cdot z & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ $3$\displaystyle{= $ \begin{array}0& - 1 &0& \vspace{6}\\ 1&0&0& \vspace{6}\\ 0&0&1& \vspace{6}\\ \end{array} $ $ \begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ z& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

したがって

$3$\displaystyle{A= $ \begin{array}0& - 1 &0& \vspace{6}\\ 1&0&0& \vspace{6}\\ 0&0&1& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

参考：回転行列

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年2月10日