逆行列の問題

■問題

掃き出し法を用いて $3$\displaystyle{A= $ \begin{array}0&0&1& \vspace{6}\\ 0&1&2& \vspace{6}\\ 1&3&4& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$
の逆行列 $3$\displaystyle{{A}^{ - 1 }}$ を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{{A}^{ - 1 }= $ \begin{array}2& - 3 &1& \vspace{6}\\ - 2 &1&0& \vspace{6}\\ 1&0&0& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

■解き方

$3$\displaystyle{ $ \begin{array}0&0&1& \vspace{6}\\ 0&1&2& \vspace{6}\\ 1&3&4& \vspace{6}\\ \end{array} \| \begin{array}1&0&0& \vspace{6}\\ 0&1&0& \vspace{6}\\ 0&0&1& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

・1行と3行を入れ替える．
$3$\displaystyle{\rightarrow $ \begin{array}1&3&4& \vspace{6}\\ 0&1&2& \vspace{6}\\ 0&0&1& \vspace{6}\\ \end{array} \| \begin{array}0&0&1& \vspace{6}\\ 0&1&0& \vspace{6}\\ 1&0&0& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

・2行を-3倍して1行に加える．

$3$\displaystyle{\rightarrow $ \begin{array}1&0& - 2 & \vspace{6}\\ 0&1&2& \vspace{6}\\ 0&0&1& \vspace{6}\\ \end{array} \| \begin{array}0& - 3 &1& \vspace{6}\\ 0&1&0& \vspace{6}\\ 1&0&0& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

・3行を-2倍して2行に加える．
・3行を2倍して1行に加える．
$3$\displaystyle{\rightarrow $ \begin{array}1&0&0& \vspace{6}\\ 0&1&0& \vspace{6}\\ 0&0&1& \vspace{6}\\ \end{array} \| \begin{array}2& - 3 &1& \vspace{6}\\ - 2 &1&0& \vspace{6}\\ 1&0&0& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

よって

$3$\displaystyle{{A}^{ - 1 }= $ \begin{array}2& - 3 &1& \vspace{6}\\ - 2 &1&0& \vspace{6}\\ 1&0&0& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

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最終更新日： 2025年4月25日