基本的な行列の問題

■問題

$3$\displaystyle{A= $ \begin{array}x&y& \vspace{6}\\ - 2 &1& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ ， $3$\displaystyle{B= $ \begin{array}2&y& \vspace{6}\\ - 1 &x& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ で， $3$\displaystyle{ \|B\| =2}$ ， $3$\displaystyle{ \| AB \| =4}$ である． $3$\displaystyle{x}$ ， $3$\displaystyle{y}$ を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

■計算

$3$\displaystyle{ \|A\| \|B\| = \| AB \| }$ より(定理)

$3$\displaystyle{ \|A\| =2}$ 　･･････(1)

そして， $3$\displaystyle{ \|A\| }$ の行列式を計算すると

$3$\displaystyle{ \|A\| =x+2y=2}$ 　･･････(2)

$3$\displaystyle{ \|B\| }$ も同様に計算することで

$3$\displaystyle{ \|B\| =2x+y=2}$ 　･･････(3)

(2)，(3)より以下の連立方程式が成り立つ．

$3$\displaystyle{ \{ \begin{array} x+2y=2 & \vspace{6}\\ 2x+y=2 & \vspace{6}\\ \end{array} }$

(2)×2-(3)より

$3$\displaystyle{3y}$ $3$\displaystyle{=2}$

$3$\displaystyle{y}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ 　･･････(4)

(4)を(3)に代入する．

$3$\displaystyle{2x+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=2}$

$3$\displaystyle{2x}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{x}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年10月10日