基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値をまず第2列で展開(余因子展開)してから求めよ．

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}2&5& 11 &3& \vspace{6}\\ 3&8&6&2& \vspace{6}\\ 4& 12 &8&7& \vspace{6}\\ 7&9&2&5& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

■答

1021

■計算

$3$\displaystyle{ \| \begin{array}2&5& 11 &3& \vspace{6}\\ 3&8&6&2& \vspace{6}\\ 4& 12 &8&7& \vspace{6}\\ 7&9&2&5& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{=5\times { $ - 1 $ }^{ 1+ 2 } \|\begin{array}3&6&2& \vspace{6}\\ 4&8&7& \vspace{6}\\ 7&2&5& \vspace{6}\\ \end{array}\| }$ $3$\displaystyle{+ 8\times { $ - 1 $ }^{ 2+ 2 } \mid \begin{array}2&11&3& \vspace{6}\\ 4&8&7& \vspace{6}\\ 7&2&5& \vspace{6}\\ \end{array}\mid }$ $3$\displaystyle{+ 12\times { $ - 1 $ }^{ 3+ 2 } \mid \begin{array}2&11&3& \vspace{6}\\ 3&6&2& \vspace{6}\\ 7&2&5& \vspace{6}\\ \end{array}\mid }$ $3$\displaystyle{+ 9\times { $ - 1 $ }^{ 4+ 2 } \mid \begin{array}2&11&3& \vspace{6}\\ 3&6&2& \vspace{6}\\ 4&8&7& \vspace{6}\\ \end{array}\mid }$ ･･･（1）

展開された式を，それぞれの項に分けて計算をする．

$3$\displaystyle{5\times { $ - 1 $ }^{ 1+2 } \| \begin{array}3&6&2& \vspace{6}\\ 4&8&7& \vspace{6}\\ 7&2&5& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

この計算においても行列式の値は第2列で展開(余因子展開)して求めることにする．

$3$\displaystyle{=- 5 \left{{ 6{ $ - 1 $ }^{ 1+2 } \| \begin{array}4&7& \vspace{6}\\ 7&5& \vspace{6}\\ \end{array} \| +8{ $ - 1 $ }^{ 2+2 } \| \begin{array}3&2& \vspace{6}\\ 7&5& \vspace{6}\\ \end{array} \| +2{ $ - 1 $ }^{ 3+2 } \| \begin{array}3&2& \vspace{6}\\ 4&7& \vspace{6}\\ \end{array} \| }\right} }$

$3$\displaystyle{=- 5 \{ - 6 $ 20- 49 $ +8 $ 15- 14 $ - 2 $ 21- 8 $ \} }$

$3$\displaystyle{=- 5 $ - 6\times 29+8- 2\times 13 $ }$

$3$\displaystyle{=- 780}$ ･･･（2）

$3$\displaystyle{8\times { $ - 1 $ }^{ 2+2 } \| \begin{array}2& 11 &3& \vspace{6}\\ 4&8&7& \vspace{6}\\ 7&2&5& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の値は第2列で展開(余因子展開)して求めることにする．

$3$\displaystyle{=8 \left{{ 11{ $ - 1 $ }^{ 1+2 } \| \begin{array}4&7& \vspace{6}\\ 7&5& \vspace{6}\\ \end{array} \| +8{ $ - 1 $ }^{ 2+2 } \| \begin{array}2&3& \vspace{6}\\ 7&5& \vspace{6}\\ \end{array} \| +2{ $ - 1 $ }^{ 3+2 } \| \begin{array}2&3& \vspace{6}\\ 4&7& \vspace{6}\\ \end{array} \| }\right} }$

$3$\displaystyle{=8 \{ - 11 $ 20- 49 $ +8 $ 10- 21 $ - 2 $ 14- 12 $ \} }$

$3$\displaystyle{=8 \{ - 11\times $ - 29 $ +8\times $ - 11 $ - 2\times 2 \} }$

$3$\displaystyle{=8\times 227}$

$3$\displaystyle{=1816}$ ･･･（3）

$3$\displaystyle{- 12\times { $ - 1 $ }^{ 3+2 } \| \begin{array}2& 11 &3& \vspace{6}\\ 3&6&2& \vspace{6}\\ 7&2&5& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の値は第2列で展開(余因子展開)して求めることにする．

$3$\displaystyle{=- 12 \left{{ 11{ $ - 1 $ }^{ 1+2 } \| \begin{array}3&2& \vspace{6}\\ 7&5& \vspace{6}\\ \end{array} \| +6{ $ - 1 $ }^{ 2+2 } \| \begin{array}2&3& \vspace{6}\\ 7&5& \vspace{6}\\ \end{array} \| +2{ $ - 1 $ }^{ 3+2 } \| \begin{array}2&3& \vspace{6}\\ 3&2& \vspace{6}\\ \end{array} \| }\right} }$

$3$\displaystyle{=- 12 \{ - 11 $ 15- 14 $ +8 $ 10- 21 $ - 2 $ 4- 9 $ \} }$

$3$\displaystyle{=- 12 \{ - 11+8\times $ - 11 $ - 2\times $ - 5 $ \} }$

$3$\displaystyle{=- 12\times $ - 67 $ }$

$3$\displaystyle{=804}$ ･･･（4）

$3$\displaystyle{9\times { $ - 1 $ }^{ 4+2 } \| \begin{array}2& 11 &3& \vspace{6}\\ 3&6&2& \vspace{6}\\ 4&8&7& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

行列式の値は第2列で展開(余因子展開)して求めることにする．

$3$\displaystyle{=9 \left{{ 11{ $ - 1 $ }^{ 1+2 } \| \begin{array}3&2& \vspace{6}\\ 4&7& \vspace{6}\\ \end{array} \| +6{ $ - 1 $ }^{ 2+2 } \| \begin{array}2&3& \vspace{6}\\ 4&7& \vspace{6}\\ \end{array} \| +8{ $ - 1 $ }^{ 3+2 } \| \begin{array}2&3& \vspace{6}\\ 3&2& \vspace{6}\\ \end{array} \| }\right} }$

$3$\displaystyle{=9 \{ - 11 $ 21- 8 $ +6 $ 14- 12 $ - 8 $ 4- 9 $ \} }$

$3$\displaystyle{=9 \{ - 11\times 13+6\times 2- 8\times $ - 5 $ \} }$

$3$\displaystyle{=9\times $ - 91 $ }$

$3$\displaystyle{=- 819}$ 　･･･（5）

（1）に（2）～（5）をそれぞれ代入する．

$3$\displaystyle{5{ $ - 1 $ }^{ 1+ 2 } \mid \begin{array}3&6&2& \vspace{6}\\ 4&8&7& \vspace{6}\\ 7&2&5& \vspace{6}\\ \end{array}\mid }$ $3$\displaystyle{+ 8\times { $ - 1 $ }^{ 2+ 2 } \mid \begin{array}2&11&3& \vspace{6}\\ 4&8&7& \vspace{6}\\ 7&2&5& \vspace{6}\\ \end{array}\mid }$ $3$\displaystyle{+ 12\times { $ - 1 $ }^{ 3+ 2 } \mid \begin{array}2&11&3& \vspace{6}\\ 3&6&2& \vspace{6}\\ 7&2&5& \vspace{6}\\ \end{array}\mid }$ $3$\displaystyle{+ 9\times { $ - 1 $ }^{ 4+ 2 } \mid \begin{array}2&11&3& \vspace{6}\\ 3&6&2& \vspace{6}\\ 4&8&7& \vspace{6}\\ \end{array}\mid }$

$3$\displaystyle{ =- 780+1816+804+819 }$

$3$\displaystyle{=1021}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年6月14日