基本的な行列の問題

■問題

次の行列式の値をまず第2列で展開(余因子展開)してから求めよ．

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}x&1&2&3& \vspace{6}\\ 1& x+1 &4&5& \vspace{6}\\ 2&3& 2x &6& \vspace{6}\\ 4&5&6& 2x+1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

■答

$3$\displaystyle{ { 4x }^{4}+6{x}^{3}- 18{x}^{2}+ 150x- 76 }$

■計算

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}x&1&2&3& \vspace{6}\\ 1& x+1 &4&5& \vspace{6}\\ 2&3& 2x &6& \vspace{6}\\ 4&5&6& 2x+1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ =1\times { \left({ - 1 }\right) }^{ 1+2 }\left|{ \begin{array}1&4&5& \vspace{6}\\ 2& 2x &6& \vspace{6}\\ 4&6& 2x+1 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$ $3$\displaystyle{ +\left({ x+1 }\right){ \left({ - 1 }\right) }^{ 2+2 }\left|{ \begin{array}x&2&3& \vspace{6}\\ 2& 2x &6& \vspace{6}\\ 4&6& 2x+1 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$ $3$\displaystyle{ +3\times { \left({ - 1 }\right) }^{ 3+2 }\left|{ \begin{array}x&2&3& \vspace{6}\\ 1&4&5& \vspace{6}\\ 4&6& 2x+1 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$ $3$\displaystyle{ +5\times { \left({ - 1 }\right) }^{ 4+2 }\left|{ \begin{array}x&2&3& \vspace{6}\\ 1&4&5& \vspace{6}\\ 2& 2x &6& \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$

$3$\displaystyle{ =- \left|{ \begin{array}1&4&5& \vspace{6}\\ 2& 2x &6& \vspace{6}\\ 4&6& 2x+1 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$ $3$\displaystyle{ +\left({ x+1 }\right)\left|{ \begin{array}x&2&3& \vspace{6}\\ 2& 2x &6& \vspace{6}\\ 4&6& 2x+1 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$ $3$\displaystyle{ - 3\left|{ \begin{array}x&2&3& \vspace{6}\\ 1&4&5& \vspace{6}\\ 4&6& 2x+1 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$ $3$\displaystyle{ +5\left|{ \begin{array}x&2&3& \vspace{6}\\ 1&4&5& \vspace{6}\\ 2& 2x &6& \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$ 　･･･（1）

それぞれの項の行列式を計算する．

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}1&4&5& \vspace{6}\\ 2& 2x &6& \vspace{6}\\ 4&6& 2x+1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

この計算においても行列式の値は第2列で展開(余因子展開)して求めることにする．

$3$\displaystyle{ =4\times {\left({ - 1 }\right)}^{ 1+2 }\left({\begin{array}2&6& \vspace{6}\\ 4& 2x+1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right)+2x\times {\left({ - 1 }\right)}^{ 2+2 }\left({\begin{array}1&5& \vspace{6}\\ 4& 2x+1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right)+6\times {\left({ - 1 }\right)}^{ 3+2 }\left({\begin{array}1&5& \vspace{6}\\ 2&6& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ =- 4\left({\begin{array}2&6& \vspace{6}\\ 4& 2x+1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right)+2x\left({\begin{array}1&5& \vspace{6}\\ 4& 2x+1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right)- 6\left({\begin{array}1&5& \vspace{6}\\ 2&6& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ =- 4\left({ 4x+2- 24 }\right)+2x\left({ 2x+1- 20 }\right)- 6\left({ 6- 10 }\right) }$

$3$\displaystyle{ =- 8\left({ 2x- 11 }\right)+2x\left({ 2x- 19 }\right)- 12\left({ - 2 }\right) }$

$3$\displaystyle{ =- 16x+88+4{x}^{2}- 38x+24 }$

$3$\displaystyle{ =4{x}^{2}- 54x+112 }$ 　･･･（2）

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}x&2&3& \vspace{6}\\ 2& 2x &6& \vspace{6}\\ 4&6& 2x+1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の値は第2列で展開(余因子展開)して求めることにする．

$3$\displaystyle{ =2\times {\left({ - 1 }\right)}^{ 1+2 }\left({\begin{array}2&6& \vspace{6}\\ 4& 2x+1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right)+2x\times {\left({ - 1 }\right)}^{ 2+2 }\left({\begin{array}x&3& \vspace{6}\\ 4& 2x+1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right)+6\times {\left({ - 1 }\right)}^{ 3+2 }\left({\begin{array}x&3& \vspace{6}\\ 2&6& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ =- 2\left({\begin{array}2&6& \vspace{6}\\ 4& 2x+1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right)+2x\left({\begin{array}x&3& \vspace{6}\\ 4& 2x+1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right)- 6\left({\begin{array}x&3& \vspace{6}\\ 2&6& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ =- 2\left({ 4x+2- 24 }\right)+2x\left({ { 2x }^{2}+x- 12 }\right)- 6\left({ 6x- 6 }\right) }$

$3$\displaystyle{ =- 2\left({ 4x- 22 }\right)+2x\left({ { 2x }^{2}+x- 12 }\right)- 6\left({ 6x- 6 }\right) }$

$3$\displaystyle{ =- 8x+44+4{x}^{3}+2{x}^{2}- 24x- 36x+36 }$

$3$\displaystyle{ ={ 4x }^{3}+{ 2x }^{2}- 68x+80 }$ 　･･･（3）

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}x&2&3& \vspace{6}\\ 1&4&5& \vspace{6}\\ 4&6& 2x+1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の値は第2列で展開(余因子展開)して求めることにする．

$3$\displaystyle{ =2\times { \left({ - 1 }\right) }^{ 1+2 }\left|{ \begin{array}1&5& \vspace{6}\\ 4& 2x+1 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right|+4\times { \left({ - 1 }\right) }^{ 2+2 }\left|{ \begin{array}x&3& \vspace{6}\\ 4& 2x+1 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right|+6\times { \left({ - 1 }\right) }^{ 3+2 }\left|{ \begin{array}x&3& \vspace{6}\\ 1&5& \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$

$3$\displaystyle{=- 2 \| \begin{array}1&5& \vspace{6}\\ 4& 2x+1 & \vspace{6}\\ \end{array} \| +4 \| \begin{array}x&3& \vspace{6}\\ 4& 2x+1 & \vspace{6}\\ \end{array} \| - 6 \| \begin{array}x&3& \vspace{6}\\ 1&5& \vspace{6}\\ \end{array} \| }$

$3$\displaystyle{=- 2 \{ $ 2x+1- 20 $ - 2 $ 2{x}^{2}+x- 12 $ +3 $ 5x- 3 $ \} }$

$3$\displaystyle{=- 2 \{ $ 2x- 19 $ - 2 $ 2{x}^{2}+x- 12 $ +3 $ 5x- 3 $ \} }$

$3$\displaystyle{=- 2 $ 2x- 19- 4{x}^{2}- 2x+24+15x- 9 $ }$

$3$\displaystyle{=- 2 $ - 4{x}^{2}+15x- 4 $ }$

$3$\displaystyle{=8{x}^{2}- 30x+8}$ 　･･･（4）

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}x&2&3& \vspace{6}\\ 1&4&5& \vspace{6}\\ 2& 2x &6& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

行列式の値は第2列で展開(余因子展開)して求めることにする．

$3$\displaystyle{ =2\times {\left({ - 1 }\right)}^{ 1+2 }\left({\begin{array}1&5& \vspace{6}\\ 2&6& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)+4\times {\left({ - 1 }\right)}^{ 2+2 }\left({\begin{array}x&3& \vspace{6}\\ 2&6& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)+2x\times {\left({ - 1 }\right)}^{ 3+2 }\left({\begin{array}x&3& \vspace{6}\\ 1&5& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ =- 2\left({\begin{array}1&5& \vspace{6}\\ 2&6& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)+4\left({\begin{array}x&3& \vspace{6}\\ 2&6& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)- 2x\left({\begin{array}x&3& \vspace{6}\\ 1&5& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ =- 2\left({ 6- 10 }\right)+4\left({ 6x- 6 }\right)- 2x\left({ 5x- 3 }\right) }$

$3$\displaystyle{ =- 2\left({ - 4 }\right)+4\left({ 6x- 6 }\right)- 2x\left({ 5x- 3 }\right) }$

$3$\displaystyle{ =8+24x- 24- { 10x }^{2}+6x }$

$3$\displaystyle{ =- { 10x }^{2}+30x- 16 }$ 　･･･（5）

（1）に（2）～（5）をそれぞれ代入する．

$3$\displaystyle{ - \left|{ \begin{array}1&4&5& \vspace{6}\\ 2& 2x &6& \vspace{6}\\ 4&6& 2x+1 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$ $3$\displaystyle{ +\left({ x+1 }\right)\left|{ \begin{array}x&2&3& \vspace{6}\\ 2& 2x &6& \vspace{6}\\ 4&6& 2x+1 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$ $3$\displaystyle{ - 3\left|{ \begin{array}x&2&3& \vspace{6}\\ 1&4&5& \vspace{6}\\ 4&6& 2x+1 & \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$ $3$\displaystyle{ +5\left|{ \begin{array}x&2&3& \vspace{6}\\ 1&4&5& \vspace{6}\\ 2& 2x &6& \vspace{6}\\ \end{array} }\right| }$

$3$\displaystyle{=- $ 4{x}^{2}- 54x+112 $ }$ $3$\displaystyle{+ $ x+1 $ \times $ 4{x}^{3}+2{x}^{2}- 68x+80 $ }$ $3$\displaystyle{- 3 $ 8{x}^{2}- 30x+8 $ }$ $3$\displaystyle{+5 $ - 10{x}^{2}+30x- 16 $ }$

$3$\displaystyle{=- 4{x}^{2}+54x- 112+4{x}^{4}}$ $3$\displaystyle{+6{x}^{3}- 66{x}^{2}+12x+80}$ $3$\displaystyle{- 24{x}^{2}+90x- 24}$ $3$\displaystyle{- 50{x}^{2}+150x- 80}$

$3$\displaystyle{=4{x}^{4}+6{x}^{3}- 144{x}^{4}+306x- 136}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年10月10日