基本的な行列の問題

■問題

次のベクトルの組が1次従属となるような $3$\displaystyle{t}$ の値(整数)を求めよ．

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}t& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ - 1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ ， $3$\displaystyle{ \left({\begin{array}1& \vspace{6}\\ t& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ ， $3$\displaystyle{ \left({\begin{array}1& \vspace{6}\\ - 1 & \vspace{6}\\ t& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)\in\hspace{5}{R}^{3} }$

■計算

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}t&1&1& \vspace{6}\\ 1&t& - 1 & \vspace{6}\\ - 1 &1&t& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)\neq 0 }$

のとき(定理)は1次独立となってしまうので，1次従属となるときは

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}t&1&1& \vspace{6}\\ 1&t& - 1 & \vspace{6}\\ - 1 &1&t& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)=0 }$

(定理)である．

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}t&1&1& \vspace{6}\\ 1&t& - 1 & \vspace{6}\\ - 1 &1&t& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ $3$\displaystyle{ =- \left({\begin{array}1&t& - 1 & \vspace{6}\\ t&1&1& \vspace{6}\\ - 1 &1&t& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ =- \left({\begin{array}1&t& - 1 & \vspace{6}\\ 0& - {t}^{2}+1 & t+1 & \vspace{6}\\ 0& t+1 & t- 1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ =- \left({\begin{array} - {t}^{2}+1 & t+1 & \vspace{6}\\ t+1 & t- 1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ =- \left{{ \left({ - {t}^{2}+1 }\right)\left({ t- 1 }\right)- {\left({ t+1 }\right)}^{2} }\right} }$

$3$\displaystyle{ =- \left{{ \left({ - {t}^{3}+{t}^{2}+t- 1 }\right)- \left({ {t}^{2}+2t+1 }\right) }\right} }$

$3$\displaystyle{ =- \left({ - {t}^{3}- t- 2 }\right) }$

$3$\displaystyle{ ={t}^{3}+t+2 }$

$3$\displaystyle{ =\left({ t+1 }\right)\left({ {t}^{2}- t+2 }\right) }$

$3$\displaystyle{ =0 }$

になればよい．

しかし， $3$\displaystyle{t}$ は整数であることより， $3$\displaystyle{ t }$ $3$\displaystyle{ =- 1 }$ が解となる．

よって， $3$\displaystyle{ t=- 1 }$ のときに1次従属となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年9月6日