基本的な行列の問題

■問題

次のベクトルの組は1次独立か，1次従属かを調べよ．

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}1& \vspace{6}\\ 3& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ ， $3$\displaystyle{ \left({\begin{array} - 3 & \vspace{6}\\ 9& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)\in\hspace{5}{R}^{2} }$

■計算

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{1}\left({ \begin{array}1& \vspace{6}\\ 3& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)+\hspace{1}{c}_{2}\left({ \begin{array} - 3 & \vspace{6}\\ 9& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\displaystyle{0} }$ 　･･････(1)

とおくと．

$3$\displaystyle{ \left{{\begin{array} \hspace{1}{c}_{1}- 3\hspace{1}{c}_{2}=0 & \vspace{6}\\ 3\hspace{1}{c}_{1}+9\hspace{1}{c}_{2}=0 & \vspace{6}\\ \end{array} }$

となる連立方程式が得られる．これを行列で表すと

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}1& - 3 & \vspace{6}\\ 3&9& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)\left({\begin{array}\hspace{1}{c}_{1}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{c}_{2}& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)=\left({\begin{array}0& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

となる．

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}1& - 3 & \vspace{6}\\ 3&9& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)=18\neq 0 }$

であるからクラメルの公式を用いて， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{1} }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{2} }$ を求める．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{1}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}18\hspace{2}}\left({\begin{array}0& - 3 & \vspace{6}\\ 0&9& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)=0 }$ ， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}18\hspace{2}}\left({\begin{array}1&0& \vspace{6}\\ 3&0& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)=0 }$

となる．

よって，(1)が成り立つためには

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{1}=\hspace{1}{c}_{2}=0 }$

となる．したがって，1次独立である．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年10月11日