基本的な行列の問題

■問題

次のベクトルの組は1次独立か，1次従属かを調べよ．

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}1& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ ， $3$\displaystyle{ \left({\begin{array}1& \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ 3& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ , $3$\displaystyle{ \left({\begin{array}3& \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)\in\hspace{5}{R}^{3} }$

■計算

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{1}\left({ \begin{array}1& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)+\hspace{1}{c}_{2}\left({ \begin{array}1& \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ 3& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)+\hspace{1}{c}_{3}\left({ \begin{array}3& \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\displaystyle{0} }$ 　･･････(1)

とおくと．

$3$\displaystyle{ \{ \begin{array} \hspace{1}{c}_{1}+c\hspace{1}{}_{content10no7}^{content10no8}+2content10no4_{}^{content10no6} 3\hspace{1}{c}_{3}=0& \vspace{6}\\ \end{array} \hspace{1}{c}_{1}+2c\hspace{1}{}_{}^{{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}0}+_{}^{} 2\hspace{1}{c}_{3}=0& \vspace{6}\\ \hspace{1}{c}_{1}+3c\hspace{1}{}_{}^{{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}\hspace{5}0}+_{}^{} \hspace{1}{c}_{3}=0& \vspace{6}\\ }$

となる連立方程式が得られる．これを行列で表すと

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}1&1&3& \vspace{6}\\ 1&2&2& \vspace{6}\\ 1&3&1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)\left({\begin{array}\hspace{1}{c}_{1}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{c}_{2}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{c}_{3}& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)=\left({\begin{array}0& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

となる．

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}1&1&3& \vspace{6}\\ 1&2&2& \vspace{6}\\ 1&3&1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ $3$\displaystyle{ =\left({\begin{array}1&1&3& \vspace{6}\\ 0&1& - 1 & \vspace{6}\\ 0&2& - 2 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ $3$\displaystyle{ =\left({\begin{array}1& - 1 & \vspace{6}\\ 2& - 2 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ $3$\displaystyle{ =0 }$

であるから，この定理より，ベクトルの組

は1次従属である．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年10月11日