基本的な行列の問題

■問題

次のベクトルの組は1次独立か，1次従属かを調べよ．

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}1& \vspace{6}\\ 3& \vspace{6}\\ 3& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ ， $3$\displaystyle{ \left({\begin{array}3& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ 3& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ ， $3$\displaystyle{ \left({\begin{array}3& \vspace{6}\\ 3& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)\in\hspace{5}{R}^{3} }$

■計算

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{1}\left({\begin{array}1& \vspace{6}\\ 3& \vspace{6}\\ 3& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)+\hspace{1}{c}_{2}\left({\begin{array}3& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ 3& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)+\hspace{1}{c}_{3}\left({\begin{array}3& \vspace{6}\\ 3& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)=\displaystyle{0} }$ とおくと，

$3$\displaystyle{ \left{{\begin{array} \hspace{1}{c}_{1}+\hspace{1}{ 3c }_{2}+3\hspace{1}{c}_{3}=0 & \vspace{6}\\ \hspace{1}{ 3c }_{1}+\hspace{1}{c}_{2}+3\hspace{1}{c}_{3}=0 & \vspace{6}\\ \hspace{1}{ 3c }_{1}+3\hspace{1}{c}_{2}+\hspace{1}{c}_{3}=0 & \vspace{6}\\ \end{array} }$

となる．これを行列を用いて表すと

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}1&3&3& \vspace{6}\\ 3&1&3& \vspace{6}\\ 3&3&1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)\left({\begin{array}\hspace{1}{c}_{1}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{c}_{2}& \vspace{6}\\ \hspace{1}{c}_{3}& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)=\left({\begin{array}0& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

となる．

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}1&3&3& \vspace{6}\\ 3&1&3& \vspace{6}\\ 3&3&1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ $3$\displaystyle{ =\left({\begin{array}1&3&3& \vspace{6}\\ 0& - 8 & - 6 & \vspace{6}\\ 0& - 6 & - 8 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ $3$\displaystyle{ =\left({\begin{array} - 8 & - 6 & \vspace{6}\\ - 6 & - 8 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ $3$\displaystyle{ =64- 36 }$ $3$\displaystyle{ =28 }$ $3$\displaystyle{ \neq 0 }$

となる．よって，この定理より，ベクトルの組

は1次独立である．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年10月11日