基本的な行列の問題

■問題

次のベクトルの組が1次従属となるような $3$\displaystyle{ t }$ の値(整数)を求めよ．

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}1& \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ t& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ , $3$\displaystyle{ \left({\begin{array}0& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ t& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ , $3$\displaystyle{ \left({\begin{array}t& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ 2& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ , $3$\displaystyle{ \left({\begin{array}2& \vspace{6}\\ t& \vspace{6}\\ 0& \vspace{6}\\ 1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)\in\hspace{5}{R}^{4} }$

■計算

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}1&0&t&2& \vspace{6}\\ 2&1&0&t& \vspace{6}\\ t&2&1&0& \vspace{6}\\ 0&t&2&1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)\neq 0 }$ の時(定理)は1次独立となってしまうので，1次従属となるときは $3$\displaystyle{ \left({\begin{array}1&0&t&2& \vspace{6}\\ 2&1&0&t& \vspace{6}\\ t&2&1&0& \vspace{6}\\ 0&t&2&1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)=0 }$ (定理)である．

$3$\displaystyle{ \left({\begin{array}1&0&t&2& \vspace{6}\\ 2&1&0&t& \vspace{6}\\ t&2&1&0& \vspace{6}\\ 0&t&2&1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ $3$\displaystyle{ =\left({\begin{array}1&0&t&2& \vspace{6}\\ 0&1& - 2t & t- 4 & \vspace{6}\\ 0&2& 1- {t}^{2} & - 2t & \vspace{6}\\ 0&t&2&1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ =\left({\begin{array}1& - 2t & t- 4 & \vspace{6}\\ 2& 1- {t}^{2} & - 2t & \vspace{6}\\ t&2&1& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ =\left({\begin{array}1& - 2t & t- 4 & \vspace{6}\\ 0& - {t}^{2}+4t+1 & - 4t+8 & \vspace{6}\\ 0& 2{t}^{2}+2 & { - t }^{2}+4t+1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ =\left({\begin{array} - {t}^{2}+4t+1 & - 4t+8 & \vspace{6}\\ 2{t}^{2}+2 & - {t}^{2}+4t+1 & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ ={\left({ - {t}^{2}+4t+1 }\right)}^{2}- }$ $3$\displaystyle{ \left({ - 4t+8 }\right)\left({ 2{t}^{2}+2 }\right) }$

$3$\displaystyle{ ={t}^{4}- 4{t}^{3}- {t}^{2}- 4{t}^{3}+16{t}^{2} }$ $3$\displaystyle{ +4t- {t}^{2}+ }$ $3$\displaystyle{ 4t+1 }$ $3$\displaystyle{ +8{t}^{3}- 16{t}^{2}+8t- 16 }$

$3$\displaystyle{ ={t}^{4}- 2{t}^{2}+16t- 15 }$

$3$\displaystyle{=\left({ t- 1 }\right)\left({ t+3 }\right)\left({ {t}^{2}- 2t+5 }\right)}$

$3$\displaystyle{ =0 }$

になればよい．

しかし，この問題では整数を求めたいので， $3$\displaystyle{t=1,- 3}$ が解となる．

よって， $3$\displaystyle{t=1,- 3}$ の時に1次従属となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年9月6日