合成関数の偏微分

■問題

$3$\displaystyle{z=f $ x,y $ \text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }x=a+ht\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }y=b+kt\text{\hspace{1} }}$ のとき， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}\text{\hspace{1} }}$ を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{h\hspace{1}{f}_{x}+k\hspace{1}{f}_{y}}$

■ヒント

合成関数の偏微分の公式を用いて偏微分する．

■解説

$3$\displaystyle{{x}^{{\alpha}}\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ の微分の公式より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=h}$ 　　･･････(1)

$3$\displaystyle{{x}^{{\alpha}}\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ の微分の公式より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=k}$ 　　･･････(2)

以上から

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{f}_{x}\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}+\hspace{1}{f}_{y}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}}$

合成関数の偏微分の公式に(1)，(2) を代入すると

$3$\displaystyle{=h\hspace{1}{f}_{x}+k\hspace{1}{f}_{y}}$

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>偏微分>>問題演習>>合成関数の偏微分

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月28日