偏微分の問題演習

次の関数を偏微分せよ．
- • $3$\displaystyle{z=x- 2y}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{z={x}^{2}+{y}^{2}}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{z={x}^{2}- 3xy+2{y}^{2}}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{z=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ ⇒ 解答　
- • $3$\displaystyle{z=\frac{\hspace{2} x- y \hspace{2}}{\hspace{2} x+y \hspace{2}}}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{z=\sqrt{ 3x- 4y }}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{z={e}^{ xy }}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{z=\log $ x- y $ }$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{z=2\sin \sqrt{ xy }}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{z={\tan }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{z={x}^{3}+3{x}^{2}y+2{y}^{3}}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{z={e}^{ - ax }\text{\hspace{1}\hspace{1}} $ \sin by+\cos by $ }$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{f $ x,y $ =\frac{\hspace{2} 5x+3y \hspace{2}}{\hspace{2} 3x+2y \hspace{2}}}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{f $ x,y $ ={x}^{y}}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{ z=3{x}^{3}- 6{x}^{2}y+2x{y}^{2}+5{y}^{4} }$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{ z=\frac{\hspace{2} 2{x}^{2}+{y}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{3}- 3{y}^{2} \hspace{2}} }$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{ z=\sqrt{ 5{x}^{2}+7{y}^{3} } }$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{ z={e}^{ {x}^{3}+2{y}^{2} } }$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{ z=\log $7{x}^{4}+5{y}^{3}$ }$ ⇒解答
- • $3$\displaystyle{ z=\sin 4{x}^{2}+\cos 5{y}^{3} }$ ⇒解答
- • $3$\displaystyle{ z=3\sin $ 4{x}^{3}- 7{y}^{4} $ }$ ⇒解答
- • $3$\displaystyle{ z=5\cos x{y}^{2} }$ ⇒解答
- • $3$\displaystyle{ z={ \sin }^{ - 1 }xy }$ ⇒解答
- • $3$\displaystyle{ z={ \cos }^{ - 1 }2xy }$ ⇒解答
- • $3$\displaystyle{ z={ \sin }^{ - 1 }3{x}^{2}{y}^{3} }$ ⇒解答
- • $3$\displaystyle{ z={ \cos }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }$ ⇒解答
- • $3$\displaystyle{ z={ \tan }^{ - 1 }xy }$ ⇒解答
- • $3$\displaystyle{ z={ \tan }^{ - 1 }\sqrt{ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}} } }$ ⇒解答
次の関数についてとを求めよ．
- • $3$\displaystyle{f $ x,y $ ={x}^{2}+xy- {y}^{2}}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{f $ x,y $ =\sqrt{ {x}^{2}- xy }}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{ f $ x,y $ ={ \sin }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}} }$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{ f $ x,y $ =\frac{\hspace{2} 3{x}^{2}y+2x{y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}- {y}^{2} \hspace{2}} }$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{ f $ x,y $ = $ x+y $ $ {x}^{2}+x{y}^{3} $ }$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{ f $ x,y $ ={ \tan }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }$ ⇒ 解答
次の関数の微小変化に対する全微分を求めよ．
- • $3$\displaystyle{f $ x,y $ ={x}^{2}+7xy+{y}^{2}}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{f $ x,y $ =\frac{\hspace{2} xy \hspace{2}}{\hspace{2} 2x+y \hspace{2}}}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{f $ x,y $ ={e}^{x}\log y}$ ⇒ 解答
次のことを証明せよ．
- $3$\displaystyle{z=f $ \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} $ \text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}}$ ならば $3$\displaystyle{\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}x\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}+y\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}=0\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}}$ である． ⇒ 解答
- $3$\displaystyle{z=f $ {x}^{2}- {y}^{2} $ \text{\hspace{1}\hspace{1}}}$ ならば $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }y\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}+x\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}=0\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ である ⇒ 解答
- $3$\displaystyle{z=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}f $ \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} $ \text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ ならば $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }x\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}+y\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}+z=0\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ である ⇒ 解答
- $3$\displaystyle{z=\log \sqrt{ {x}^{2}+{y}^{2} }\text{\hspace{1} }}$ ならば $3$\displaystyle{{ $ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ }^{2}+{ $ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ }^{2}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {e}^{ 2z } \hspace{2}}\text{\hspace{1} }}$ である．　⇒ 解答
次の関数のを求めよ．
- $3$\displaystyle{z=f $ x,y $ \text{\hspace{1} },}$ $3$\displaystyle{\text{}x=a+ht\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }y=b+kt\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ ⇒ 解答
- $3$\displaystyle{z={x}^{2}+{y}^{2}\text{\hspace{1} },}$ $3$\displaystyle{\text{}x=t- \sin t\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }y=1- \cos t\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ ⇒ 解答
- $3$\displaystyle{z=xy\text{\hspace{1} },}$ $3$\displaystyle{\text{}x=2{t}^{2}+1\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }y={t}^{2}+3t+1\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ ⇒ 解答
- $3$\displaystyle{z=x\tan y\text{\hspace{1} },\text{}x={\sin }^{ - 1 }2t\text{\hspace{1} },}$ $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }y={\cos }^{ - 1 }2t\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ ⇒ 解答
次のことを示せ．
- • $3$\displaystyle{z=f $ x,y $ }$ , $3$\displaystyle{x=r\cos {\theta}}$ , $3$\displaystyle{y=r\sin {\theta}}$ ならば
  
  $3$\displaystyle{{ $ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ }^{2}+{ $ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ }^{2}={ $ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}r \hspace{2}} $ }^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {r}^{2} \hspace{2}}{ $ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{\theta} \hspace{2}} $ }^{2}}$
  
  となる． ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{z=f$x,y$,\text{\hspace{1}}x=u\cos \alpha - v\sin \alpha ,}$ $3$\displaystyle{\text{\hspace{1}}y=u\sin \alpha +v\cos \alpha }$ ならば
  
  　 $3$\displaystyle{{ $ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ }^{2}+{ $ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ }^{2}={ $ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}} $ }^{2}+{ $ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}v \hspace{2}} $ }^{2}\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$
  
  　となる． ⇒ 解答
次の関数の第2次偏導関数を求めよ．
- • $3$\displaystyle{z=3x- 2y}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{z={x}^{3}+{y}^{3}}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{z=2{x}^{2}- 3xy+4{y}^{2}}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{z=\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{z=\frac{\hspace{2} x- y \hspace{2}}{\hspace{2} x+y \hspace{2}}}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{z=\sqrt{ 2x- 3y }}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{z={e}^{ xy }}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{z=\log $ x- y $ }$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{z=\sin \sqrt{ xy }}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{z={\tan }^{ - 1 }\text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{ z=\sqrt{ {x}^{2}- {y}^{3} } }$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{ z=\sqrt{ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}} } }$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{ z=\cos {x}^{2}{y}^{2} }$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{ z={ \sin }^{ - 1 }xy }$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{ z={ \cos }^{ - 1 }2xy }$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{ z=\log $ {x}^{2}+{y}^{2} $ }$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{ z={e}^{ 2{x}^{3}{y}^{2} } }$ ⇒ 解答
次の関数の第2次偏導関数を求めよ．
- • $3$\displaystyle{z=f $ x,y $ \text{\hspace{1} },}$ $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} }x=t- \sin t\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }y=1- \cos t\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{z=f $ x,y $ \text{\hspace{1} },}$ $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} \hspace{1} }x=2{t}^{2}- 3\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }y={t}^{2}+3t+7\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ ⇒ 解答
次のことを示せ．
- • $3$\displaystyle{z=f$x,y$,\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}x=u\cos {\theta}- v\sin {\theta},}$ $3$\displaystyle{\text{\hspace{1}}y=u\sin {\theta}+v\cos {\theta}}$ のとき
  
  　　 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{y}^{2} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{u}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{v}^{2} \hspace{2}}\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$
  
  　となる． ⇒ 解答　
- • $3$\displaystyle{z=f $ x,y $ \text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}x=r\cos {\theta}\text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}y=r\sin {\theta}\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}}$ のとき
  
  　 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{y}^{2} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{r}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}r\hspace{2}}\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}r \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {r}^{2} \hspace{2}}\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{{\theta}}^{2} \hspace{2}}\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}}$
  
  となる． ⇒ 解答

次のことを示せ．

•	$3$\displaystyle{y=f $ x,t $ }$ において，1次元の波動方程式
	$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{t}^{2} \hspace{2}}={c}^{2}\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}}$
	に $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }{\xi}=x- ct\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }{\eta}=x+ct\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ なる変換を行うと
	$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{\eta}{\partial}{\xi} \hspace{2}}=0}$
	となる． ⇒ 解答

•	$3$\displaystyle{z}$ に関する方程式
	$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{t}^{2} \hspace{2}}={c}^{2} $ \frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{r}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}r\hspace{2}}\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}r \hspace{2}} $ }$
	において， $3$\displaystyle{z=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}r\hspace{2}}u}$ とおき， $3$\displaystyle{u}$ に関する方程式に変換すると
	$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{t}^{2} \hspace{2}}={c}^{2}\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{r}^{2} \hspace{2}}}$
	となる． ⇒ 解答

次の関係で定義される陰関数についてを求めよ．
- • $3$\displaystyle{3{x}^{2}+2xy+{y}^{2}=1}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{{y}^{2}=4px}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {a}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} {y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {b}^{2} \hspace{2}}=1}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{y={e}^{ x+y }}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{\log \text{\hspace{1} }\sqrt{ {x}^{2}+{y}^{2} }- {\tan }^{ - 1 }\text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=0}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{{x}^{3}+{y}^{3}- 3axy=0}$ ⇒ 解答
次の関係で定義される陰関数の指定された点における接線の方程式を求めよ．
- • $3$\displaystyle{f $ x,y $ =0}$ の点 $3$\displaystyle{ $ a,b $ }$ での接線の方程式
- ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{{x}^{3}+{y}^{3}- xy=0}$ の点 $3$\displaystyle{ $ 1/ 2, 1/2 $ }$ における
- 接線の方程式 ⇒ 解答
次の関係で定義される陰関数の極値を調べよ．
- • $3$\displaystyle{{x}^{2}- 2xy+3{y}^{2}=8}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{{x}^{2}y- x{y}^{2}+128=0}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{{x}^{2}{y}^{2}- 2x+9{y}^{2}=0}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{{x}^{3}- 12xy+2{y}^{3}=0}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{{x}^{4}- 16xy+3{y}^{4}=0}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{{x}^{4}+4{x}^{2}+3{y}^{3}- 2y=0}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{{x}^{2}+2xy+{y}^{4}+2{y}^{2}=6}$ ⇒ 解答
次のことを示せ．
- • $3$\displaystyle{z=xf $ ax+by $ +yg $ ax+by $ \text{\hspace{1} }}$ ならば
  
  　　 $3$\displaystyle{{b}^{2}\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}- 2ab\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x{\partial}y \hspace{2}}+{a}^{2}\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{y}^{2} \hspace{2}}=0}$
  
  　である．　⇒ 解答　
- • 関数 $3$\displaystyle{ f $ x,y $ ={ \tan }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }$ は調和関数である．　⇒ 解答　
次の関数の極値を求めよ．
- • $3$\displaystyle{f $ x,y $ ={x}^{2}+2{y}^{2}+10x}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{f $ x,y $ ={x}^{2}- 2xy+3{y}^{2}- 4x+5y}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{f $ x,y $ =4{x}^{2}+2xy+{y}^{2}+4x+4y}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{f $ x,y $ =xy $ x- 2y- 3 $ }$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{f $ x,y $ ={x}^{3}+{y}^{3}- 12x- 27y}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{f $ x,y $ ={x}^{3}+{y}^{3}+6xy- 24}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{f $ x,y $ =xy+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{f $ x,y $ =\cos x+\cos y+\cos $ x+y $ }$
  $3$\displaystyle{\left({ 0< x< {\pi},0< y< {\pi} }\right)}$ ⇒ 解答
- • $3$\displaystyle{ f $ x,y $ =2{x}^{3}- 2{y}^{2}- 2xy }$ ⇒ 解答
次の関数のマクローリン展開式を第3次の項まで求めよ．
- • $3$\displaystyle{ f $ x,y $ ={e}^{x}\sin y }$ ⇒ 解答

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2025年4月25日

•	$3$\displaystyle{z=f \( x,y \) }$ , $3$\displaystyle{x=r\cos {\theta}}$ , $3$\displaystyle{y=r\sin {\theta}}$ ならば
	$3$\displaystyle{{ \( \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} \) }^{2}+{ \( \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} \) }^{2}={ \( \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}r \hspace{2}} \) }^{2}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {r}^{2} \hspace{2}}{ \( \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{\theta} \hspace{2}} \) }^{2}}$
	となる． ⇒ 解答

•	$3$\displaystyle{z=f\(x,y\),\text{\hspace{1}}x=u\cos \alpha - v\sin \alpha ,}$ $3$\displaystyle{\text{\hspace{1}}y=u\sin \alpha +v\cos \alpha }$ ならば
	$3$\displaystyle{{ \( \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} \) }^{2}+{ \( \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} \) }^{2}={ \( \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}} \) }^{2}+{ \( \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}v \hspace{2}} \) }^{2}\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$
	となる． ⇒ 解答

•	$3$\displaystyle{z=f\(x,y\),\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}x=u\cos {\theta}- v\sin {\theta},}$ $3$\displaystyle{\text{\hspace{1}}y=u\sin {\theta}+v\cos {\theta}}$ のとき
	$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{y}^{2} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{u}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{v}^{2} \hspace{2}}\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$
	となる． ⇒ 解答

•	$3$\displaystyle{z=f \( x,y \) \text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}x=r\cos {\theta}\text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}y=r\sin {\theta}\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}}$ のとき
	$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{y}^{2} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{r}^{2} \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}r\hspace{2}}\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}r \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {r}^{2} \hspace{2}}\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{{\theta}}^{2} \hspace{2}}\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}}$
	となる． ⇒ 解答

•	$3$\displaystyle{y=f \( x,t \) }$ において，1次元の波動方程式
	$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{t}^{2} \hspace{2}}={c}^{2}\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}}$
	に $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }{\xi}=x- ct\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }{\eta}=x+ct\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ なる変換を行うと
	$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}y \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{\eta}{\partial}{\xi} \hspace{2}}=0}$
	となる． ⇒ 解答

•	$3$\displaystyle{z=xf \( ax+by \) +yg \( ax+by \) \text{\hspace{1} }}$ ならば
	$3$\displaystyle{{b}^{2}\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}- 2ab\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x{\partial}y \hspace{2}}+{a}^{2}\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{y}^{2} \hspace{2}}=0}$
	である．　⇒ 解答