合成関数の偏微分

■問題

$3$\displaystyle{z=xy\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }x=2{t}^{2}+1\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }y={t}^{2}+3t+1\text{\hspace{1} }}$ のとき， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}\text{\hspace{1} }}$ を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{=8{t}^{3}+18{t}^{2}+6t+3}$

■ヒント

合成関数の偏微分の公式を用いて偏微分する．

■解説

$3$\displaystyle{{x}^{{\alpha}}\text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$ の微分の公式より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=4t}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}=2t+3}$

偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{y\text{\hspace{1}}}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{x\text{\hspace{1}}}$ で微分すると,

$3$\displaystyle{\hspace{1}{z}_{x}=\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}=y}$

偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{x\text{\hspace{1}}}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y\text{\hspace{1}}}$ で微分すると,

$3$\displaystyle{\hspace{1}{z}_{y}=\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}=x}$

合成関数の偏微分の公式より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{z}_{x}\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}+\hspace{1}{z}_{y}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dt \hspace{2}}}$

上で求めた式をそれぞれ代入すると,

$3$\displaystyle{=y $ 4t $ +x $ 2t+3 $ }$

$3$\displaystyle{=\left({ {t}^{2}+3t+1 }\right)\left({ 4t }\right)}$ $3$\displaystyle{+\left({ 2{t}^{2}+1 }\right)\left({ 2t+3 }\right)}$

$3$\displaystyle{=4{t}^{3}+12{t}^{2}+4t+4{t}^{3}+6{t}^{2}+2t+3}$

$3$\displaystyle{=8{t}^{3}+18{t}^{2}+6t+3}$

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最終更新日： 2023年8月28日