陰関数の極値

■問題

次の関係で定義される陰関数 $3$\displaystyle{y={\varphi} $x$ }$ の極値を調べよ．

$3$\displaystyle{{x}^{2}y- x{y}^{2}+128=0}$

■答

$3$\displaystyle{x=4}$ のとき，極小値 $3$\displaystyle{8}$ をとる.

■ヒント

関数の極値の定理２を用いて極大・極小を判断する．

■解説

$3$\displaystyle{f $ x,y $ ={x}^{2}y- x{y}^{2}+128}$ 　･･････(1)

とおく．

(1)を偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{y}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{x}$ で微分する．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{x}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ {x}^{2}y- x{y}^{2}+128 $ }$

$3$\displaystyle{=2xy- {y}^{2}}$

$3$\displaystyle{= $ 2x- y $ y}$

よって， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{x}\left({ x,y }\right)=0 }$ となるのは

$3$\displaystyle{y=0,2x}$

しかし， $3$\displaystyle{y=0}$ の時，与式を満たさないので， $3$\displaystyle{y=2x}$ である．

この関係を与式に代入して，

$3$\displaystyle{{x}^{2}\cdot 2x- x\cdot { $ 2x $ }^{2}+128}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{2{x}^{3}- 4{x}^{3}+128}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{- 2{x}^{3}+128}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{{x}^{3}}$ $3$\displaystyle{=64}$

$3$\displaystyle{x}$ $3$\displaystyle{=4}$

故に極値をとる候補は， $3$\displaystyle{y=2x}$ の関係から，点 $3$\displaystyle{ $ 4,8 $ }$ となる．

次に，上記点( $3$\displaystyle{{y}^{\prime }=0}$ ，言い換えると， $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{x}\left({ x,y }\right)=0}$ )における $3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }}$ を求める．この場合

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }=\frac{\hspace{2} {d}^{2}y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{ xx } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{y} \hspace{2}}}$ 　･･････(2)

の関係がある．(関数の極値の定理２を参照)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{ xx }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}\hspace{1}{f}_{x}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} \{ $ 2x- y $ y \} }$ $3$\displaystyle{=2y}$ 　･･････(3)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{y}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ {x}^{2}y- x{y}^{2}+128 $ }$ $3$\displaystyle{={x}^{2}- 2xy}$ 　･･････(4)

(3)，(4)を(2)に代入する．

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} 2y \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}- 2xy \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ $ 4,8 $ }$ のとき $3${y}^{\prime\prime }$ は

$3${y}^{\prime\prime }$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} 2\cdot 8 \hspace{2}}{\hspace{2} {4}^{2}- 2\cdot 4\cdot 8 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2} 16 \hspace{2}}{\hspace{2} 16- 64 \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} 28 \hspace{2}}{\hspace{2} - 48 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2} 12 \hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }> 0}$

以上から， $3$\displaystyle{x=4}$ のとき，極小値 $3$\displaystyle{8}$ をとる.

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最終更新日： 2023年9月17日