2変数関数の極値

■問題

次の関数の極値を求めよ．

$3$\displaystyle{f $ x,y $ ={x}^{3}+{y}^{3}+6xy- 24}$

■答

$3$\displaystyle{ $ - 2,- 2 $ }$ で極大値 $3$\displaystyle{- 16}$ をとる．

■ヒント

与えられた関数を $3$\displaystyle{x,y}$ でそれぞれ偏微分し，連立方程式

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ =0}& \vspace{6}\\ \displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}f $ x,y $ =0}& \vspace{6}\\ \end{array} }$

とし，その解 $3$\displaystyle{\left({ x,y }\right)=\left({ a,b }\right)}$ を求める．

更に

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}f\left({ x,y }\right)=\hspace{1}{f}_{ xx }\left({ x,y }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{y}^{2} \hspace{2}}f\left({ x,y }\right)=\hspace{1}{f}_{ yy }\left({ x,y }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y{\partial}x \hspace{2}}f\left({ x,y }\right)=\hspace{1}{f}_{ xy }\left({ x,y }\right)}$

をそれぞれ求め

$3$\displaystyle{ A=\hspace{1}{f}_{ xx } $ a,b $ \text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}} }$ $3$\displaystyle{ D={ \{ \hspace{1}{f}_{ xy } $ a,b $ \} }^{2}- \hspace{1}{f}_{ xx } $ a,b $ \cdot \hspace{1}{f}_{ yy } $ a,b $ }$

を計算して極値を判定する．

■解説

与式を $3$\displaystyle{x}$ で偏微分（偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{y}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{x}$ で微分）すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ {x}^{3}+{y}^{3}+6xy- 24 $ }$ $3$\displaystyle{=3{x}^{2}+6y}$

次に $3$\displaystyle{f $ x,y $ }$ を $3$\displaystyle{y}$ で偏微分（偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{x}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y}$ で微分）すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ {x}^{3}+{y}^{3}+6xy- 24 $ }$ $3$\displaystyle{=3{y}^{2}+6x}$

両者を連立させる．

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}3{x}^{2}+6y=0\text{\hspace{5}}\cdots \cdots $1$ & \vspace{6}\\ 3{y}^{2}+6x=0\text{\hspace{5}}\cdots \cdots $2$ & \vspace{6}\\ \end{array} }$

(1)から

$3$\displaystyle{3{x}^{2}+6y=0}$ ， $3$\displaystyle{{x}^{2}+2y=0}$ ， $3$\displaystyle{2y=- {x}^{2}}$ ， $3$\displaystyle{y=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}}$ 　･･････(3)

これを(2)に代入する．

$3$\displaystyle{3{ $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2} $ }^{2}+6x=0}$ ， $3$\displaystyle{{ $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2} $ }^{2}+2x=0}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{4}+2x=0}$ ， $3$\displaystyle{{x}^{4}+8x=0}$ ， $3$\displaystyle{x $ {x}^{3}+8 $ =0}$

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}x=0& \vspace{6}\\ {x}^{3}+8=0\text{\hspace{5}}\cdots \cdots $4$ & \vspace{6}\\ \end{array} }$

(4)から

$3$\displaystyle{{x}^{3}+8=0}$ ， $3$\displaystyle{{x}^{3}=- 8}$ ， $3$\displaystyle{{x}^{3}}$ $3$\displaystyle{={ $ - 2 $ }^{3}}$ ， $3$\displaystyle{x=- 2}$

(3)に $3$\displaystyle{x=0}$ を代入する．

$3$\displaystyle{y}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot {0}^{2}}$ $3$\displaystyle{=0}$

(3)に $3$\displaystyle{x=- 2}$ を代入する．

$3$\displaystyle{y}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot { $ - 2 $ }^{2}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot 4}$ $3$\displaystyle{=- 2}$

以上から極値をとる候補は $3$\displaystyle{ $ 0,0 $ }$ ， $3$\displaystyle{ $ - 2,- 2 $ }$ の2点となる．

次に

をそれぞれ求める．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{ xx }\left({ x,y }\right)= }$ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f \( x,y $ \) }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ 3{x}^{2}+6y $ }$ $3$\displaystyle{=6x}$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{ yy }\left({ x,y }\right)= }$ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{y}^{2} \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}f \( x,y $ \) }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ 3{y}^{2}+6x $ }$ $3$\displaystyle{=6y}$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{ xy }\left({ x,y }\right)= }$ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y{\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f \( x,y $ \) }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ 3{x}^{2}+6y $ }$ $3$\displaystyle{=6}$

$3$\left({ x,y }\right)=\left({ a,b }\right)$ における $3$A$ ， $3$D$ の値は

$3$\displaystyle{A}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{f}_{ xx } $ a,b $ }$ $3$\displaystyle{=6a}$

$3$\displaystyle{D}$ $3$\displaystyle{={ \{ \hspace{1}{f}_{ xy } $ a,b $ \} }^{2}- \hspace{1}{f}_{ xx } $ a,b $ \cdot \hspace{1}{f}_{ yy } $ a,b $ }$ $3$\displaystyle{={6}^{2}- 6a\cdot 6b}$ $3$\displaystyle{=36- 36ab}$ $3$\displaystyle{=36 $ 1- ab $ }$

これを元に各点における $3$\displaystyle{A,D}$ を求める．

●点 $3$\displaystyle{ $ 0,0 $ }$ においては

$3$\displaystyle{A}$ $3$\displaystyle{=6\cdot 0}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{D}$ $3$\displaystyle{=36 $ 1- 0\cdot 0 $ }$ $3$\displaystyle{=36\cdot 1}$ $3$\displaystyle{=36}$

$3$\displaystyle{D> 0}$ となり $3$\displaystyle{ $ 0,0 $ }$ は極値ではない．

●点 $3$\displaystyle{ $ - 2,- 2 $ }$ においては

$3$\displaystyle{A}$ $3$\displaystyle{=6\cdot \left({ - 2 }\right)}$ $3$\displaystyle{=- 12}$

$3$\displaystyle{D}$ $3$\displaystyle{=36 \{ 1- $ - 2 $ \cdot $ - 2 $ \} }$ $3$\displaystyle{=36\cdot $ 1- 4 $ }$ $3$\displaystyle{=36\cdot $ - 3 $ }$ $3$\displaystyle{=- 108}$

となり， $3$\displaystyle{A< 0,D< 0}$ から点 $3$\displaystyle{ $ - 2,- 2 $ }$ で極大となる．

この点での値は，

$3$\displaystyle{f $ - 2,- 2 $ }$ $3$\displaystyle{={ $ - 2 $ }^{3}+{ $ - 2 $ }^{3}+6\cdot $ - 2 $ \cdot $ - 2 $ - 24}$ $3$\displaystyle{=- 8- 8+24- 24}$ $3$\displaystyle{=- 16}$

以上からこの関数は点 $3$\displaystyle{ $ - 2,- 2 $ }$ で極大値 $3$\displaystyle{- 16}$ をとる．

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最終更新日： 2023年9月21日