偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

$3$\displaystyle{ z=\sqrt{ 5{x}^{2}+7{y}^{3} } }$

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 5x \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 5{x}^{2}+7{y}^{3} } \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 21{y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{ 5{x}^{2}+7{y}^{3} } \hspace{2}} }$

■ヒント

平方根を累乗根の指数形である $3$\displaystyle{ { $ 5{x}^{2}+7{y}^{3} $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } }$ に変形し，合成関数の微分を行う．
偏導関数の定義を用いて偏微分する．

■解説

平方根を累乗根の指数に変形する．
指数が有理数の場合も参照．

$3$\displaystyle{ z=\sqrt{ 5{x}^{2}+7{y}^{3} }={ $ 5{x}^{2}+7{y}^{3} $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } }$

$3$\displaystyle{ u=5{x}^{2}+7{y}^{3} }$ とおくと，

$3$\displaystyle{z={u}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$

微分する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot {u}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 1 }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{u}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{u} \hspace{2}}}$ (指数が有理数の場合も参照．)

偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{y\text{\hspace{1}}}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{x\text{\hspace{1}}}$ で微分する．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}=5\cdot 2\cdot {x}^{ 2- 1 }=10x }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 10x \hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{u} \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 5x \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{u} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ u=5{x}^{2}+7{y}^{3} }$ を代入する．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 5x \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 5{x}^{2}+7{y}^{3} } \hspace{2}} }$

偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{x\text{\hspace{1}}}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y\text{\hspace{1}}}$ で微分する．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}=7\cdot 3\cdot {y}^{ 3- 1 }=21{y}^{2} }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{u} \hspace{2}}\cdot 21{y}^{2} }$

$3$\displaystyle{ u=5{x}^{2}+7{y}^{3} }$ を代入する．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 21{y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{ 5{x}^{2}+7{y}^{3} } \hspace{2}} }$

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最終更新日： 2023年8月24日