2変数関数の極値

■問題

次の関数の極値を求めよ．

$3$\displaystyle{f $ x,y $ =4{x}^{2}+2xy+{y}^{2}+4x+4y}$

■答

点 $3$\displaystyle{ $ 0,- 2 $ }$ で極小値 $3$\displaystyle{- 4}$ をとる．

■ヒント

与えられた関数を $3$\displaystyle{x,y}$ でそれぞれ偏微分し，連立方程式

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ =0}& \vspace{6}\\ \displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}f $ x,y $ =0}& \vspace{6}\\ \end{array} }$

とし，その解 $3$\displaystyle{\left({ x,y }\right)=\left({ a,b }\right)}$ を求める．

更に

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}f\left({ x,y }\right)=\hspace{1}{f}_{ xx }\left({ x,y }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{y}^{2} \hspace{2}}f\left({ x,y }\right)=\hspace{1}{f}_{ yy }\left({ x,y }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y{\partial}x \hspace{2}}f\left({ x,y }\right)=\hspace{1}{f}_{ xy }\left({ x,y }\right)}$

をそれぞれ求め

$3$\displaystyle{ A=\hspace{1}{f}_{ xx } $ a,b $ \text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}} }$ $3$\displaystyle{ D={ \{ \hspace{1}{f}_{ xy } $ a,b $ \} }^{2}- \hspace{1}{f}_{ xx } $ a,b $ \cdot \hspace{1}{f}_{ yy } $ a,b $ }$

を計算して極値を判定する．

■解説

与式を $3$\displaystyle{x}$ で偏微分（偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{y}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{x}$ で微分）すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ 4{x}^{2}+2xy+{y}^{2}+4x+4y $ }$ $3$\displaystyle{=8x+2y+4}$

次に $3$\displaystyle{f $ x,y $ }$ を $3$\displaystyle{y}$ で偏微分（偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{x}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y}$ で微分）すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ 4{x}^{2}+2xy+{y}^{2}+4x+4y $ }$ $3$\displaystyle{=2x+2y+4}$

両者を連立させる．

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}8x+2y+4=0\text{\hspace{5}}\cdots \cdots $1$ & \vspace{6}\\ 2x+2y+4=0\text{\hspace{5}}\cdots \cdots $2$ & \vspace{6}\\ \end{array} }$

(2)から

$3$\displaystyle{2x+2y+4}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{x+y+2}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{x}$ $3$\displaystyle{=- y- 2}$ 　･･････(3)

これを(1)に代入する．

$3$\displaystyle{8 $ - y- 2 $ +2y+4}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{- 8y- 16+2y+4}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{- 6y- 12}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{- 6y}$ $3$\displaystyle{=12}$

$3$\displaystyle{y}$ $3$\displaystyle{=- 2}$

求めた $3$\displaystyle{y}$ を(3)に代入する．

$3$\displaystyle{x}$ $3$\displaystyle{=- $ - 2 $ - 2}$ $3$\displaystyle{=2- 2}$ $3$\displaystyle{=0}$

以上から極値をとる候補は $3$\displaystyle{ $ 0,- 2 $ }$ となる．

次に

をそれぞれ求める．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{ xx }\left({ x,y }\right)= }$ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f \( x,y $ \) }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ 8x+2y+4 $ }$ $3$\displaystyle{=8}$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{ yy }\left({ x,y }\right)= }$ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{y}^{2} \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}f \( x,y $ \) }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ 2x+2y+4 $ }$ $3$\displaystyle{=2}$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{ xy }\left({ x,y }\right)= }$ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y{\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f \( x,y $ \) }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ 8x+2y+4 $ }$ $3$\displaystyle{=2}$

以上から $3$\displaystyle{A,D}$ を求めると

$3$\displaystyle{A}$ $3$\displaystyle{ =\hspace{1}{f}_{ xx }\left({ 0,- 2 }\right) }$ $3$\displaystyle{=8}$

$3$\displaystyle{D}$ $3$\displaystyle{={\left{{ \hspace{1}{f}_{ xy }\left({ 0,- 2 }\right) }\right}}^{2}- \hspace{1}{f}_{ xx }\left({ 0,- 2 }\right)\cdot \hspace{1}{f}_{ yy }\left({ 0,- 2 }\right)}$ $3$\displaystyle{={2}^{2}- 8\cdot 2}$ $3$\displaystyle{=4- 16}$ $3$\displaystyle{=- 12}$

となる．

$3$\displaystyle{A> 0,D< 0}$ より，点 $3$\displaystyle{ $ 0,- 2 $ }$ で極小となる．

この点での値は

$3$\displaystyle{f $ 0,- 2 $ }$ $3$\displaystyle{=4\cdot {0}^{2}- 2\cdot 0\cdot $ - 2 $ +{ $ - 2 $ }^{2}+4\cdot 0}$ $3$\displaystyle{+4\cdot $ - 2 $ }$

$3$\displaystyle{=0+0+4+0- 8}$

$3$\displaystyle{=- 4}$

従って，この関数は点 $3$\displaystyle{ $ 0,- 2 $ }$ で極小値 $3$\displaystyle{- 4}$ をとる．

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最終更新日： 2023年9月21日