2変数関数のマクローリン展開の問題

■問題

次の関数のマクローリン展開式を第3次の項まで求めよ．

$3$\displaystyle{ f $ x,y $ ={e}^{x}\sin y }$

■答

$3$\displaystyle{ f $ x,y $ =y+xy+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}y- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{y}^{3}+ \cdot \cdot \cdot }$

■ヒント

2変数のマクローリンの定理

■解き方

$3$\displaystyle{ f $ 0,0 $ =0 }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{x}={e}^{x}\sin y }$ $3$\displaystyle{{}_\bullet\limits{ }^\bullet {}_\bullet \hspace{1}{f}_{x} $ 0,0 $ =0}$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{y}={e}^{x}\cos y }$ $3$\displaystyle{{}_\bullet\limits{ }^\bullet {}_\bullet \hspace{1}{f}_{y}$0,0$=1}$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{ xx }={e}^{x}\sin y }$ $3$\displaystyle{{}_\bullet\limits{ }^\bullet {}_\bullet \hspace{1}{f}_{ xx } $ 0,0 $ =0}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{ yy }=- {e}^{x}\sin y}$ $3$\displaystyle{{}_\bullet\limits{ }^\bullet {}_\bullet \hspace{1}{f}_{ yy }$0,0$=0}$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{ yx }={e}^{x}\cos y }$ $3$\displaystyle{{}_\bullet\limits{ }^\bullet {}_\bullet \hspace{1}{f}_{ yx }$0,0$=1}$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{ xxx }={e}^{x}\sin y }$ $3$\displaystyle{{}_\bullet\limits{ }^\bullet {}_\bullet \hspace{1}{f}_{ xxx } $ 0,0 $ =0}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{ yyy }=- {e}^{x}\cos y}$ $3$\displaystyle{{}_\bullet\limits{ }^\bullet {}_\bullet \hspace{1}{f}_{ yyy }$0,0$=- 1}$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{ yxx }={e}^{x}\cos y }$ $3$\displaystyle{{}_\bullet\limits{ }^\bullet {}_\bullet \hspace{1}{f}_{ yxx }$0,0$=1}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{ yyx }=- {e}^{x}\sin y}$ $3$\displaystyle{{}_\bullet\limits{ }^\bullet {}_\bullet \hspace{1}{f}_{ yyx }$0,0$=0}$

よって

$3$\displaystyle{f $ x,y $ =f $ 0,0 $ }$ $3$\displaystyle{+ \{ x\hspace{1}{f}_{x} $ 0,0 $ +y\hspace{1}{f}_{y} $ 0,0 $ \} }$ $3$\displaystyle{+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}} \{ {x}^{2}\hspace{1}{f}_{ xx } $ 0,0 $ +2xy\hspace{1}{f}_{ yx } $ 0,0 $ +{y}^{2}\hspace{1}{f}_{ yy } $ 0,0 $ \} }$

$3$\displaystyle{+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}} \{ {x}^{3}\hspace{1}{f}_{ xxx }$0,0$+3{x}^{2}y\hspace{1}{f}_{ yxx }$0,0$+3x{y}^{2}\hspace{1}{f}_{ yyx$0,0$ }+{y}^{3}\hspace{1}{f}_{ yyy }$0,0$ \} +\cdot \cdot \cdot }$

$3$\displaystyle{=y+\text{\hspace{1}}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}} $ 2xy $ +\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 3! \hspace{2}}$3{x}^{2}y- {y}^{3}$+\cdot \cdot \cdot }$

$3$\displaystyle{=y+xy+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}y- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}{y}^{3}+\cdot \cdot \cdot }$

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最終更新日： 2024年5月28日