2変数のマクローリン(Maclaurin)の定理

2変数関数 $3$\displaystyle{ f $ x,y $ }$ が領域 $3$\displaystyle{D}$ で $3$\displaystyle{n}$ 回連続偏微分可能であるり，点 $3$\displaystyle{ $ 0,0 $ }$ と点 $3$\displaystyle{ $ x,y $ }$ を結ぶ線分が $3$\displaystyle{D}$ に含まれるとき

$3$\displaystyle{ f$x,y$=f$0,0$ }$ $3$\displaystyle{ +\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1! \hspace{2}}\left({ x\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}+y\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} }\right)f$0,0$ }$ $3$\displaystyle{+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2! \hspace{2}}{\left({ x\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}+y\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} }\right)}^{2}f{\left({ 0,0 }\right)}^{2}}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{R}_{ n+1 }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} $ n+1 $ ! \hspace{2}}{ $ x\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}+y\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ }^{ n+1 }f $ {\theta}x,{\theta}y $ }$

となる $3$\displaystyle{{\theta}}$ （ $3$\displaystyle{ 0< {\theta}< 1 }$ ）が存在する．

これは2変数のテイラー定理において， $3$\displaystyle{ $ a,b $ = $ 0,0 $ }$ ， $3$\displaystyle{h=x}$ ， $3$\displaystyle{k=y}$ としたものである．

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最終更新日： 2023年9月22日