陰関数の極値

■問題

次の関係で定義される陰関数 $3$\displaystyle{y={\varphi} $x$ }$ の極値を調べよ．

$3$\displaystyle{{x}^{3}- 12xy+2{y}^{3}=0}$

■答

$3$\displaystyle{x=4}$ のとき，極大値 $3$\displaystyle{4}$ をとる.

■ヒント

関数の極値の定理２を用いて極大・極小を判断する．

■解説

$3$\displaystyle{f $ x,y $ ={x}^{3}- 12xy+2{y}^{3}}$ 　･･････(1)

とおく．

(1)を偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{y}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{x}$ で微分する．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{x}=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}\left({ {x}^{3}- 12xy+2{y}^{3} }\right)}$ $3$\displaystyle{=3{x}^{2}- 12y}$

よって， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{x}\left({ x,y }\right)=0 }$ となるのは

$3$\displaystyle{3{x}^{2}- 12y=0}$ $3$\displaystyle{}$

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{2}}$ 　･･････(2)

この関係を与式に代入して

$3$\displaystyle{{x}^{3}- 12x\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{2}+2\cdot { $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{x}^{2} $ }^{3}=0}$

$3$\displaystyle{{x}^{3}- 3{x}^{3}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} 64 \hspace{2}}{x}^{6}}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{- 2{x}^{3}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 32 \hspace{2}}{x}^{6}}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{64{x}^{3}- {x}^{6}=0}$

$3$\displaystyle{{x}^{3}\left({ 64- {x}^{3} }\right)\text{\hspace{1}}=0}$

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}{x}^{3}=0& \vspace{6}\\ 64- {x}^{3}=0& \vspace{6}\\ \end{array} }$

$3$\displaystyle{x}$ $3$\displaystyle{=0,4}$

故に極値をとる候補は，(2)の関係から

$3$\displaystyle{x=0}$ のとき

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cdot {0}^{2}=0}$

$3$\displaystyle{x=4}$ のとき

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}\cdot {4}^{2}}$ $3$\displaystyle{=4}$

となり， $3$\displaystyle{ $ 0,0 $ , $ 4,4 $ }$ の2点となる．

次に，上記2点( $3$\displaystyle{{y}^{\prime }=0}$ ，言い換えると， $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{x}\left({ x,y }\right)=0}$ )における $3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }}$ を求める．この場合

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }=\frac{\hspace{2} {d}^{2}y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{ xx } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{y} \hspace{2}}}$ 　･･････(3)

の関係がある．(関数の極値の定理２を参照)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{ xx }=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}\hspace{1}{f}_{x}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ 3{x}^{2}- 12y $ }$ $3$\displaystyle{=6x}$ 　･･････(4)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{y}=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ {x}^{3}- 12xy+2{y}^{3} $ }$ $3$\displaystyle{=- 12x+6{y}^{2}}$ 　･･････(5)

(4)，(5)を(3)に代入する．

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }=- \frac{\hspace{2} 6x \hspace{2}}{\hspace{2} - 12x+6{y}^{2} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} - 2x+{y}^{2} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} 2x- {y}^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ $ 0,0 $ }$ のとき $3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }}$ は

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }=\frac{\hspace{2}0\hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot 0- {0}^{2} \hspace{2}}=0}$

よって

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }=0}$

$3$\displaystyle{ $ 4,4 $ }$ のとき $3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }}$ は

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }=\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2} 2\cdot 4- {4}^{2} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2} 8- 16 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }< 0}$

以上から， $3$\displaystyle{x=4}$ のとき，極大値 $3$\displaystyle{4}$ をとる. $3$\displaystyle{ $ 0,0 $ }$ は特異点である．

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最終更新日： 2023年9月17日