全微分

■問題

次の関数の微小変化 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }dx\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }dy\text{\hspace{1} }}$ に対する全微分を求めよ．

$3$\displaystyle{f $ x,y $ ={x}^{2}+7xy+{y}^{2}}$

■ヒント

与式を変数 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }x\text{\hspace{1} },\text{\hspace{1} }y\text{\hspace{1} }}$ でそれぞれ偏微分し，全微分の定義に当てはめる．

■答

与式を $3$x$ で偏微分（偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{y}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{x}$ で微分）する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ {x}^{2}+7xy+{y}^{2} $ }$ $3$\displaystyle{=2x+7y}$

与式を $3$\displaystyle{y}$ で偏微分（偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{x}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y}$ で微分）する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ {x}^{2}+7xy+{y}^{2} $ }$ $3$\displaystyle{=7x+2y}$

以上からこの関数の全微分 $3$\displaystyle{\text{\hspace{1} }df $ x,y $ \text{\hspace{1} }}$ は

$3$\displaystyle{df $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ dx+\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}f $ x,y $ dy}$ $3$\displaystyle{= $ 2x+7y $ dx+ $ 7x+2y $ dy}$

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最終更新日： 2023年9月22日