偏微分の基礎

■問題

次の関数を偏微分せよ．

$3$\displaystyle{ z=\log $7{x}^{4}+5{y}^{3}$ }$

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 28{x}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2} 7{x}^{4}+5{y}^{3} \hspace{2}},\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 15{y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 7{x}^{4}+5{y}^{3} \hspace{2}} }$

■ヒント

合成関数の微分を行う．
偏導関数の定義を用いて偏微分する．

■解説

$3$\displaystyle{ u=7{x}^{4}+5{y}^{3} }$ とおくと，

$3$\displaystyle{z=\log u}$

対数の微分を行う．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}u\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 7{x}^{4}+5{y}^{3} \hspace{2}} }$

偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{y\text{\hspace{1}}}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{x\text{\hspace{1}}}$ で微分する．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}=7\cdot 4\cdot {x}^{ 4- 1 }=28{x}^{3} }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 7{x}^{4}+5{y}^{3} \hspace{2}}\cdot 28{x}^{3} }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 28{x}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2} 7{x}^{4}+5{y}^{3} \hspace{2}} }$

偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{x\text{\hspace{1}}}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y\text{\hspace{1}}}$ で微分する．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}=5\cdot 3\cdot {y}^{ 3- 1 }=15{y}^{2} }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dz \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} {\partial}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 7{x}^{4}+5{y}^{3} \hspace{2}}\cdot 15{y}^{2} }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 15{y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 7{x}^{4}+5{y}^{3} \hspace{2}} }$

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最終更新日： 2023年8月24日