陰関数の接線の方程式

■問題

関係 $3$\displaystyle{f $ x,y $ =0}$ で定義される陰関数 $3$\displaystyle{y={\varphi} $x$ }$ の点 $3$\displaystyle{ $ a,b $ }$ での接線の方程式を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{x} $ a,b $ $ x- a $ +\hspace{1}{f}_{y} $ a,b $ $ y- b $ }$ $3$\displaystyle{=0}$

■ヒント

2変数関数 $3$\displaystyle{ f\left({ x,y }\right) }$ を $3$x$ で微分する．その結果から接線の傾き $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$ を求める．

■解説

$3$\displaystyle{f $ x,y $ }$ を $3$\displaystyle{x=x}$ ， $3$\displaystyle{y={\phi}\left({x}\right)}$ とする合成関数と考えて，これを $3$\displaystyle{x}$ で微分すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{f}_{x}\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}+\hspace{1}{f}_{y}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

合成関数の偏導関数の公式を用いた．

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{f}_{x}+\hspace{1}{f}_{y}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=0}$

よって

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{y}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \hspace{1}{f}_{x}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{y} \hspace{2}}}$

ここで， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}}$ は，関数 $3$\displaystyle{y={\varphi} $x$ }$ の任意の点での接線の傾きであるから，関数 $3$\displaystyle{y={\varphi} $x$ }$ 上の点 $3$\displaystyle{ $ a,b $ }$ での傾きを $3$\displaystyle{m}$ とすると

$3$\displaystyle{m=- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{x} $ a,b $ \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{y} $ a,b $ \hspace{2}}}$

となる．よって，点 $3$\displaystyle{ $ a,b $ }$ における接線の方程式は

$3$\displaystyle{y- b=m $ x- a $ }$

$3$\displaystyle{y- b}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{x} $ a,b $ \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{y} $ a,b $ \hspace{2}} $ x- a $ }$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{y} $ a,b $ $ y- b $ }$ $3$\displaystyle{=- \hspace{1}{f}_{x} $ a,b $ $ x- a $ }$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{x} $ a,b $ $ x- a $ +\hspace{1}{f}_{y} $ a,b $ $ y- b $ }$ $3$\displaystyle{=0}$

となる．

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>偏微分>>問題演習>>陰関数の接線の方程式

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年9月16日