陰関数の極値

■問題

次の関係で定義される陰関数 $3$\displaystyle{y={\varphi} $x$ }$ の極値を調べよ．

$3$\displaystyle{{x}^{4}+4{x}^{2}+3{y}^{3}- 2y=0}$

■答

$3$\displaystyle{x=0}$ のとき，極小値 $3$\displaystyle{ 0 }$ をとり， $3$\displaystyle{x=0}$ のとき，極大値 $3$\displaystyle{ \sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} },- \sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } }$ をとる．

■ヒント

関数の極値の定理２を用いて極大・極小を判断する．

■解説

$3$\displaystyle{f $ x,y $ ={x}^{4}+4{x}^{2}+3{y}^{3}- 2y}$ 　･･････(1)

とおく．

(1)を偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{y}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{x}$ で微分する．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{x}=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ {x}^{4}+4{x}^{2}+3{y}^{3}- 2y $ }$ $3$\displaystyle{=4{x}^{3}+8x=0}$

よって， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{x}\left({ x,y }\right)=0 }$ となるのは

$3$\displaystyle{4{x}^{3}+8x}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{{x}^{3}+2x}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{x $ {x}^{2}+2 $ }$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}x=0& \vspace{6}\\ {x}^{2}+2=0\text{\hspace{5}}\cdots \cdots $2$ & \vspace{6}\\ \end{array} }$

(2)から

$3$\displaystyle{{x}^{2}}$ $3$\displaystyle{=- 2}$

となり，これを満たす $3$\displaystyle{x}$ はない．

以上から， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{x}\left({ x,y }\right)=0 }$ を満たす $3$x$ は $3$\displaystyle{x=0}$ となる．

$3$\displaystyle{x=0}$ を与式に代入すると

$3$\displaystyle{{0}^{4}+4\cdot {0}^{2}+3{y}^{3}- 2y}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{3{y}^{3}- 2y}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{y $ 3{y}^{2}- 2 $ }$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}y=0& \vspace{6}\\ 3{y}^{2}- 2=0\text{\hspace{5}}\cdots \cdots $3$ & \vspace{6}\\ \end{array} }$

$3$\displaystyle{3{y}^{2}}$ $3$\displaystyle{=2}$

$3$\displaystyle{{y}^{2}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{y}$ $3$\displaystyle{=\pm \sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }}$

故に極値をとる候補は， $3$\displaystyle{ $ 0,0 $ , $ 0,\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } $ , $ 0,- \sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } $ }$ の3点となる．

次に，上記3点( $3$\displaystyle{{y}^{\prime }=0}$ ，言い換えると， $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{x}\left({ x,y }\right)=0}$ )における $3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }}$ を求める．この場合

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }=\frac{\hspace{2} {d}^{2}y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{ xx } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{y} \hspace{2}}}$ 　･･････(4)

の関係がある．(関数の極値の定理２を参照)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{ xx }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}\hspace{1}{f}_{x}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ 4{x}^{3}+8x $ }$ $3$\displaystyle{=12{x}^{2}+8}$ 　･･････(5)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{y}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ {x}^{4}+4{x}^{2}+3{y}^{3}- 2y $ }$ $3$\displaystyle{=9{y}^{2}- 2}$ 　･･････(6)

(5)，(6)を(4)に代入して

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} 12{x}^{2}+8 \hspace{2}}{\hspace{2} 9{y}^{2}- 2 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ $ 0,0 $ }$ のとき $3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }}$ は，

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} 12\cdot {0}^{2}+8 \hspace{2}}{\hspace{2} 9\cdot {0}^{2}- 2 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2} - 2 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=4}$

よって

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }> 0}$

$3$\displaystyle{ $ 0,\sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } $ }$ のとき $3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }}$ は

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} 12\cdot {0}^{2}+8 \hspace{2}}{\hspace{2} 9\cdot { $ \sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } $ }^{2}- 2 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2} 9\cdot \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}- 2 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2} 6- 2 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- 2}$

よって

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }< 0}$

$3$\displaystyle{ $ 0,- \sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } $ }$ のとき $3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }}$ は

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} 12\cdot {0}^{2}+8 \hspace{2}}{\hspace{2} 9\cdot { $ - \sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } $ }^{2}- 2 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2} 9\cdot \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}- 2 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2} 6- 2 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- 2}$

よって

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }< 0}$

以上から， $3$\displaystyle{x=0}$ のとき，極小値 $3$\displaystyle{ 0 }$ をとり， $3$\displaystyle{x=0}$ のとき，極大値 $3$\displaystyle{ \sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} },- \sqrt{ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } }$ をとる．

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最終更新日： 2023年9月18日