陰関数の接線の方程式

■問題

次の関係で定義される陰関数 $3$\displaystyle{y={\varphi} $x$ }$ の点 $3$\displaystyle{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ における接線の方程式を求めよ．

$3$\displaystyle{{x}^{3}+{y}^{3}- xy=0}$

■答

$3$\displaystyle{x+y}$ $3$\displaystyle{=1}$

■ヒント

2変数関数 $3$\displaystyle{ f\left({ x,y }\right) }$ を $3$x$ で微分する．その結果から接線の傾き $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$ を求める．

■解説

$3$\displaystyle{f $ x,y $ =f $ x,{\varphi} \(x$ \) ={x}^{3}+{y}^{3}- xy}$

とおく． $3$\displaystyle{f $ x,y $ }$ を $3$\displaystyle{x=x}$ ， $3$\displaystyle{y={\phi}\left({x}\right)}$ とする合成関数と考えて，これを $3$\displaystyle{x}$ で微分する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{f}_{x}\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}+\hspace{1}{f}_{y}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{f}_{x}+\hspace{1}{f}_{y}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=0}$

よって

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{y}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \hspace{1}{f}_{x}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{y} \hspace{2}}}$

ここで， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}}$ は，この関数の任意の点での接線の傾きであるから，点 $3$\displaystyle{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ での傾きを $3$\displaystyle{m}$ とすると

$3$\displaystyle{m=- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{x} $ a,b $ \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{y} $ a,b $ \hspace{2}}}$

となる．点 $3$\displaystyle{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ における接線の方程式は

$3$\displaystyle{y- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=m $ x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{y- b=- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{x} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{y} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \hspace{2}} $ x- a $ }$ 　･･････(1)

ここで $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{x},\hspace{1}{f}_{y}}$ はそれぞれ

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{x}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ }$

偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{y}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{x}$ で微分する．

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ {x}^{3}+{y}^{3}- xy $ }$

$3$\displaystyle{=3{x}^{2}- y}$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{y}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}f $ x,y $ }$

偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{x}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y}$ で微分する．

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ {x}^{3}+{y}^{3}- xy $ }$

$3$\displaystyle{=3{y}^{2}- x}$

となり，点 $3$\displaystyle{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ での値はそれぞれ

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{x} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ $3$\displaystyle{=3{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{2}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ 　･･････(2)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{y} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}},\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ $3$\displaystyle{=3{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{2}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$ 　･･････(3)

である．(2)，(3)を(1)に代入する．

$3$\displaystyle{y- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} \hspace{2}} $ x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{y= $ - 1 $ \cdot $ x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ +\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{y=- x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{x+y=1}$

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最終更新日： 2023年9月16日