陰関数の2次導関数

■問題

次の関係で定義される陰関数 $3$\displaystyle{y={\varphi} $x$ }$ について $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{2}y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}}$ を求めよ．

$3$\displaystyle{{y}^{2}=4px}$

■答

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2} 4{p}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {y}^{3} \hspace{2}}}$

■ヒント

まず， $3$\displaystyle{{y}^{2}=4px}$ より定義した $3$\displaystyle{f\left({ x,y }\right)=f\left({ x,{\phi}\left({x}\right) }\right)=0}$ となる2変数関数 $3$\displaystyle{ f\left({ x,y }\right) }$ を $3$x$ で微分する．その結果から $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$ を求める．

■解説

⇒別解

与式を変形すると

$3$\displaystyle{{y}^{2}- 4px=0}$

となる．

$3$\displaystyle{f $ x,y $ =f $ x,{\varphi} \(x$ \) ={y}^{2}- 4px}$

とおく． $3$\displaystyle{f $ x,y $ }$ を $3$\displaystyle{x=x}$ ， $3$\displaystyle{y={\phi}\left({x}\right)}$ とする合成関数と考えて，これを $3$\displaystyle{x}$ で微分すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{f}_{x}\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}+\hspace{1}{f}_{y}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

合成関数の偏導関数の公式を用いた．

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{f}_{x}+\hspace{1}{f}_{y}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=0}$

よって

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{y}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \hspace{1}{f}_{x}}$

ここで

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{x}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ {y}^{2}- 4px $ }$

偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}y\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}x\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}}$ で微分する．

$3$\displaystyle{=- 4p}$ 　･･････(2)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{y}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}f $ x,y $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ {y}^{2}- 4px $ }$

偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}x\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}y\text{\hspace{1}}\text{\hspace{1}}}$ で微分する．

$3$\displaystyle{=2y}$ 　･･････(3)

(1)に(2)，(3)を代入すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{x} \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{y} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} $ - 4p $ \hspace{2}}{\hspace{2} 2y \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 2p \hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}}$ 　･･････(4)

となる．

$3$\displaystyle{g $ x,y $ =g $ x,{\varphi} \(x$ \) =\frac{\hspace{2} 2p \hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}}$ 　･･････(5)

とおく．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{2}y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} \{ g $ x,y $ \} }$

$3$\displaystyle{g $ x,y $ }$ を $3$\displaystyle{x=x}$ ， $3$\displaystyle{y={\phi}\left({x}\right)}$ とする合成関数と考えて，これを $3$\displaystyle{x}$ で微分する．このとき合成関数の偏導関数の公式を用いる．

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{g}_{x}+\hspace{1}{g}_{y}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ 　･･････(6)

ここで

$3$\displaystyle{\hspace{1}{g}_{x}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}g $ x,y $ }$

(5)を代入する．

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2} 2p \hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{=0}$ 　･･････(7)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{g}_{y}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}g $ x,y $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2} 2p \hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ 2p{y}^{ - 1 } $ }$

$3$\displaystyle{=- 2p{y}^{ - 2 }}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} 2p \hspace{2}}{\hspace{2} {y}^{2} \hspace{2}}}$ 　･･････(8)

(6)に(7)，(8)，(4)を代入する．　

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{2}y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{g}_{x}+\hspace{1}{g}_{y}\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=0+ $ - \frac{\hspace{2} 2p \hspace{2}}{\hspace{2} {y}^{2} \hspace{2}} $ \cdot \frac{\hspace{2} 2p \hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} 4{p}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {y}^{3} \hspace{2}}}$

■別解

$3$\displaystyle{{y}^{2}=4px}$ の両辺を $3$x$ で微分する．

$3$\displaystyle{2y\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=4p}$ 　･･････(9)

( $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}{y}^{2}}$ についてはここを参照)

(9)を $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ について解く．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 2p \hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}}$ 　･･････(10)

(9)を $3$\displaystyle{x}$ さらに $3$\displaystyle{x}$ で微分する．

$3$\displaystyle{2\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}+2y\frac{\hspace{2} {d}^{2}y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}=0}$ 　･･････(11)

(11)を $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{2}y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}}$ について解く．

$3$\displaystyle{{\left({ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }\right)}^{2}+y\frac{\hspace{2} {d}^{2}y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}=0}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{2}y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}{\left({ \frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }\right)}^{2}}$ 　･･････(12)

(12)に(10)を代入する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {d}^{2}y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}{\left({ \frac{\hspace{2} 2p \hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}} }\right)}^{2}=- \frac{\hspace{2} 4{p}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {y}^{3} \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2023年9月15日