偏微分を含む証明

■問題

次のことを証明せよ．

$3$\displaystyle{z=f $ {x}^{2}- {y}^{2} $ \text{\hspace{1}}}$ ならば $3$\displaystyle{y\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}+x\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}=0\text{\hspace{1} }}$

である．

■ヒント

$3$\displaystyle{ z }$ を $3$x$ ， $3$y$ でそれぞれ偏微分し，２式を連立させる．

■解説

偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{y}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{x}$ で合成関数の微分を行う．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}={f}^{\prime } $ {x}^{2}- {y}^{2} $ \text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }2x\text{\hspace{1} }}$

偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{x}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y}$ で合成関数の微分を行う．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}={f}^{\prime } $ {x}^{2}- {y}^{2} $ \text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} } $ - 2y $ }$

$3$\displaystyle{ $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2y \hspace{2}} $ \text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}={f}^{\prime } $ {x}^{2}- {y}^{2} $ }$

以上より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}\text{\hspace{1} }= $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2y \hspace{2}} $ \text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2y \hspace{2}}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}=0}$

両辺に $3$\displaystyle{2xy\text{\hspace{1} }}$ をかける．

$3$\displaystyle{y\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}+x\frac{\hspace{2} {\partial}z \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}=0}$

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最終更新日： 2023年8月24日