2変数関数の極値

■問題

次の関数の極値を求めよ．

$3$\displaystyle{f $ x,y $ =xy $ x- 2y- 3 $ }$

■答

$3$\displaystyle{ $ 1,- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ で極大値 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ をとる．

■ヒント

2変数関数の極値の定理1を使用する．

与えられた関数を $3$\displaystyle{x,y}$ でそれぞれ偏微分し，連立方程式

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ =0}& \vspace{6}\\ \displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}f $ x,y $ =0}& \vspace{6}\\ \end{array} }$

とし，その解 $3$\displaystyle{\left({ x,y }\right)=\left({ a,b }\right)}$ を求める．

更に

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}f\left({ x,y }\right)=\hspace{1}{f}_{ xx }\left({ x,y }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{y}^{2} \hspace{2}}f\left({ x,y }\right)=\hspace{1}{f}_{ yy }\left({ x,y }\right)}$ ， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y{\partial}x \hspace{2}}f\left({ x,y }\right)=\hspace{1}{f}_{ xy }\left({ x,y }\right)}$

をそれぞれ求め

$3$\displaystyle{ A=\hspace{1}{f}_{ xx } $ a,b $ \text{\hspace{1}},\text{\hspace{1}} }$ $3$\displaystyle{ D={ \{ \hspace{1}{f}_{ xy } $ a,b $ \} }^{2}- \hspace{1}{f}_{ xx } $ a,b $ \cdot \hspace{1}{f}_{ yy } $ a,b $ }$

を計算して極値を判定する．

■解説

与式を展開する．

$3$\displaystyle{f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=xy $ x- 2y- 3 $ }$ $3$\displaystyle{={x}^{2}y- 2x{y}^{2}- 3xy}$

これを $3$\displaystyle{x}$ で偏微分（偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{y}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{x}$ で微分）すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ {x}^{2}y- 2x{y}^{2}- 3xy $ }$ $3$\displaystyle{=2xy- 2{y}^{2}- 3y}$

次に $3$\displaystyle{f $ x,y $ }$ を $3$\displaystyle{y}$ で偏微分（偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{x}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{y}$ で微分）すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ {x}^{2}y- 2x{y}^{2}- 3xy $ }$ $3$\displaystyle{={x}^{2}- 4xy- 3x}$

両者を連立させる．

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}2xy- 2{y}^{2}- 3y=0\text{\hspace{5}}\cdots \cdots $1$ & \vspace{6}\\ {x}^{2}- 4xy- 3x=0\text{\hspace{5}}\cdots \cdots $2$ & \vspace{6}\\ \end{array} }$

(1)は

$3$\displaystyle{2xy- 2{y}^{2}- 3y}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{y $ 2x- 2y- 3 $ }$ $3$\displaystyle{=0}$

となり， $3$\displaystyle{y=0}$ または $3$\displaystyle{2x- 2y- 3=0}$ を満たせば良い．

同様に(2)も，

$3$\displaystyle{{x}^{2}- 4xy- 3x}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{x $ x- 4y- 3 $ }$ $3$\displaystyle{=0}$

となり， $3$\displaystyle{x=0}$ または $3$\displaystyle{x- 4y- 3=0}$ を満たせば良い．

よってこの連立方程式の解は

(i) $3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}y=0& \vspace{6}\\ x=0& \vspace{6}\\ \end{array} }$

(ii) $3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}y=0& \vspace{6}\\ x- 4y- 3=0\text{\hspace{5}}\cdots \cdots $3$ & \vspace{6}\\ \end{array} }$

(iii) $3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}2x- 2y- 3=0\text{\hspace{5}}\cdots \cdots $4$ & \vspace{6}\\ x=0& \vspace{6}\\ \end{array} }$

(iv) $3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}2x- 2y- 3=0\text{\hspace{5}}\cdots \cdots $4$ & \vspace{6}\\ x- 4y- 3=0\text{\hspace{5}}\cdots \cdots $3$ & \vspace{6}\\ \end{array} }$

これら4組の連立方程式の解となる．

(i)の連立方程式の解は $3$\displaystyle{\left({ x,y }\right)=}$ $3$\displaystyle{ $ 0,0 $ }$

(ii)の連立方程式の解は $3$\displaystyle{y=0}$ を(3)に代入して

$3$\displaystyle{x- 4\cdot 0- 3=0}$ ， $3$\displaystyle{x- 3=0}$ ， $3$\displaystyle{x=3}$

よって， $3$\displaystyle{\left({ x,y }\right)=}$ $3$\displaystyle{ $ 3,0 $ }$

(iii)の連立方程式の解は $3$\displaystyle{x=0}$ を(4)に代入して

$3$\displaystyle{2\cdot 0- 2y- 3=0}$ ， $3$\displaystyle{- 2y- 3=0}$ ， $3$\displaystyle{- 2y=3}$ ， $3$\displaystyle{y=- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

よって， $3$\displaystyle{\left({ x,y }\right)=}$ $3$\displaystyle{ $ 0,- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$

(iv)の連立方程式の解は(4)から

$3$\displaystyle{2x- 2y- 3=0}$ ， $3$\displaystyle{2x=2y+3}$ ， $3$\displaystyle{x=y+\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ 　･･････(5)

これを(3)に代入して

$3$\displaystyle{y+\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 4y- 3=0}$ ， $3$\displaystyle{- 3y+\frac{\hspace{2} 3- 6 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=0}$ ， $3$\displaystyle{- 3y- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}=0}$ ， $3$\displaystyle{- 3y=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{y=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

求めた $3$\displaystyle{y}$ を(5)に代入して

$3$\displaystyle{x}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} - 1+3 \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=1}$

よって，(i)，(ii)，(iii)，(iv)より極値をとる候補は $3$\displaystyle{ $ 0,0 $ }$ ， $3$\displaystyle{ $ 3,0 $ }$ ， $3$\displaystyle{ $ 0,- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ ， $3$\displaystyle{ $ 1,- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ の4点となる．

次に

をそれぞれ求める．

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{ xx }\left({ x,y }\right)= }$ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{x}^{2} \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f \( x,y $ \) }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ 2xy- 2{y}^{2}- 3y $ }$ $3$\displaystyle{=2y}$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{ yy }\left({ x,y }\right)= }$ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}{y}^{2} \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}}f \( x,y $ \) }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ {x}^{2}- 4xy- 3x $ }$ $3$\displaystyle{=- 4x}$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{ xy }\left({ x,y }\right)= }$ $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {{\partial}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y{\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f \( x,y $ \) }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ 2xy- 2{y}^{2}- 3y $ }$ $3$\displaystyle{=2x- 4y- 3}$

$3$\left({ x,y }\right)=\left({ a,b }\right)$ における $3$A$ ， $3$D$ の値は

$3$\displaystyle{A}$ $3$\displaystyle{=\hspace{1}{f}_{ xx } $ a,b $ }$ $3$\displaystyle{=2b}$

$3$\displaystyle{D}$ $3$\displaystyle{={ \{ \hspace{1}{f}_{ xy } $ a,b $ \} }^{2}- \hspace{1}{f}_{ xx } $ a,b $ \cdot \hspace{1}{f}_{ yy } $ a,b $ }$ $3$\displaystyle{={ $ 2a- 4b- 3 $ }^{2}- 2b\cdot $ - 4a $ }$

$3$\displaystyle{={ $ 2a- 4b- 3 $ }^{2}+8ab}$

これを元に各点における $3$\displaystyle{A,D}$ を求める．

●点 $3$\displaystyle{ $ 0,0 $ }$ においては

$3$\displaystyle{A}$ $3$\displaystyle{=2\cdot 0}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{D}$ $3$\displaystyle{={ $ 2\cdot 0- 4\cdot 0- 3 $ }^{2}+8\cdot 0\cdot 0}$ $3$\displaystyle{={ $ - 3 $ }^{2}+0}$ $3$\displaystyle{=9}$

$3$\displaystyle{D> 0}$ となり $3$\displaystyle{ $ 0,0 $ }$ は極値ではない．

●点 $3$\displaystyle{ $ 3,0 $ }$ においては

$3$\displaystyle{A}$ $3$\displaystyle{=2\cdot 0}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{D}$ $3$\displaystyle{={ $ 2\cdot 3- 4\cdot 0- 3 $ }^{2}+8\cdot 3\cdot 0}$ $3$\displaystyle{={ $ 6- 3 $ }^{2}+0}$ $3$\displaystyle{={3}^{2}}$ $3$\displaystyle{=9}$

$3$\displaystyle{D> 0}$ となり $3$\displaystyle{ $ 3,0 $ }$ は極値ではない．

●点 $3$\displaystyle{ $ 0,- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ においては

$3$\displaystyle{A}$ $3$\displaystyle{=2\cdot $ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ $3$\displaystyle{=- 3}$

$3$\displaystyle{D}$ $3$\displaystyle{={ \{ 2\cdot 0- 4\cdot $ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ - 3 \} }^{2}+8\cdot 0\cdot $ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ $3$\displaystyle{={ $ 6- 3 $ }^{2}- 0}$ $3$\displaystyle{={3}^{2}}$ $3$\displaystyle{=9}$

$3$\displaystyle{D> 0}$ となり $3$\displaystyle{ $ 0,- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ は極値ではない．

●点 $3$\displaystyle{ $ 1,- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ においては

$3$\displaystyle{A}$ $3$\displaystyle{=2\cdot $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ $3$\displaystyle{=- 1}$

$3$\displaystyle{D}$ $3$\displaystyle{={ \{ 2\cdot 1- 4\cdot $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ - 3 \} }^{2}+8\cdot 1\cdot $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ $3$\displaystyle{={ $ 2+2- 3 $ }^{2}- 4}$ $3$\displaystyle{={ $ - 1 $ }^{2}- 4}$ $3$\displaystyle{=1- 4}$ $3$\displaystyle{=- 3}$

となり， $3$\displaystyle{A< 0,D< 0}$ より点 $3$\displaystyle{ $ 1,- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ で極大となる．

この点での値は

$3$\displaystyle{f $ 1,- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ $3$\displaystyle{=1\cdot $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ \{ 1- 2\cdot $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ - 3 \} }$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ 1+1- 3 $ }$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot $ - 1 $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

以上からこの関数は点 $3$\displaystyle{ $ 1,- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ で極大値 $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ をとる．

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>偏微分>>問題演習>>2変数関数の極値

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年9月21日