陰関数の極値

■問題

次の関係で定義される陰関数 $3$\displaystyle{y={\varphi} $x$ }$ の極値を調べよ．

$3$\displaystyle{{x}^{2}- 2xy+3{y}^{2}=8}$

■答

$3$\displaystyle{x=- 2}$ のとき，極小値 $3$\displaystyle{- 2}$ をとり， $3$\displaystyle{x=2}$ のとき，極大値 $3$\displaystyle{2}$ をとる．

■ヒント

関数の極値の定理２を用いて極大・極小を判断する．

■解説

与式を変形すると

$3$\displaystyle{{x}^{2}- 2xy+3{y}^{2}- 8=0}$ 　･･････(1)

となり

$3$\displaystyle{\text{\hspace{1} \hspace{1} }f $ x,y $ ={x}^{2}- 2xy+3{y}^{2}- 8\text{\hspace{1} \hspace{1} }}$ 　･･････(2)

とおく．

(2)を偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{y}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{x}$ で微分する．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{x}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ {x}^{2}- 2xy+3{y}^{2}- 8 $ }$

$3$\displaystyle{=2x- 2y}$

よって， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{x}\left({ x,y }\right)=0 }$ となるのは

$3$\displaystyle{y=x}$ 　･･････(3)

ときである．(3)を(1)に代入して，

$3$\displaystyle{{x}^{2}- 2x\cdot x+3{\left({x}\right)}^{2}- 8=0}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}- 2{x}^{2}+3{x}^{2}- 8}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{2{x}^{2}}$ $3$\displaystyle{=8}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}}$ $3$\displaystyle{=4}$

$3$\displaystyle{x}$ $3$\displaystyle{=\pm 2}$

故に極値をとる候補は， $3$\displaystyle{y=x}$ の関係から， $3$\displaystyle{ $ 2,2 $ , $ - 2,- 2 $ }$ の2点となる．

次に，上記2点( $3$\displaystyle{{y}^{\prime }=0}$ ，言い換えると， $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{x}\left({ x,y }\right)=0}$ )における $3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }}$ を求める．この場合

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }=\frac{\hspace{2} {d}^{2}y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{ xx } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{y} \hspace{2}}}$ 　･･････(4)

の関係がある．(関数の極値の定理２を参照)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{ xx }=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}\hspace{1}{f}_{x}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ 2x- 2y $ }$ $3$\displaystyle{=2}$ 　･･････(5)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{y}=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ {x}^{2}- 2xy+3{y}^{2}- 8 $ }$ $3$\displaystyle{=- 2x+6y}$ 　･･････(6)

(5)，(6)を(4)に代入する．

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }=- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} - 2x+6y \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x- 3y \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ $ 2,2 $ }$ のとき $3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }}$ は

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2- 3\cdot 2 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2- 6 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }< 0}$

$3$\displaystyle{ $ - 2,- 2 $ }$ のとき $3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }}$ は

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} - 2- 3\cdot $ - 2 $ \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} - 2+6 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }> 0}$

以上から， $3$\displaystyle{x=- 2}$ のとき，極小値 $3$\displaystyle{- 2}$ をとり， $3$\displaystyle{x=2}$ のとき，極大値 $3$\displaystyle{2}$ をとる．

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最終更新日： 2023年9月17日