陰関数の極値

■問題

次の関係で定義される陰関数 $3$\displaystyle{y={\varphi} $x$ }$ の極値を調べよ．

$3$\displaystyle{{x}^{2}{y}^{2}- 2x+9{y}^{2}=0}$

■答

$3$\displaystyle{x=3}$ のとき，極小値 $3$\displaystyle{- \sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }}$ をとり， $3$\displaystyle{x=3}$ のとき，極大値 $3$\displaystyle{\sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }}$ をとる．

■ヒント

関数の極値の定理２を用いて極大・極小を判断する．

■解説

$3$\displaystyle{f $ x,y $ ={x}^{2}{y}^{2}- 2x+9{y}^{2}}$ 　･･････(1)

とおく．

(1)を偏導関数の定義より， $3$\displaystyle{y}$ を定数とみなして $3$\displaystyle{x}$ で微分する．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{x}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}f $ x,y $ }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ {x}^{2}{y}^{2}- 2x+9{y}^{2} $ }$ $3$\displaystyle{=2{y}^{2}x- 2}$

よって， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{f}_{x}\left({ x,y }\right)=0 }$ となるのは

$3$\displaystyle{2{y}^{2}x- 2}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{2{y}^{2}x}$ $3$\displaystyle{=2}$

$3$\displaystyle{x{y}^{2}}$ $3$\displaystyle{=1}$

$3$\displaystyle{{y}^{2}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{y}^{2}\geq 0}$ より， $3$\displaystyle{x> 0}$ となる．このとき

$3$\displaystyle{y}$ $3$\displaystyle{ =\pm \sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} } }$

$3$\displaystyle{y=\sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }}$ を与式に代入して

$3$\displaystyle{{x}^{2}{ $ \sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} } $ }^{2}- 2x+9{ $ \sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} } $ }^{2}=0}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}- 2x+9\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{x- 2x+\frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=0}$
$3$\displaystyle{- x+\frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{- x}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}}$ $3$\displaystyle{=9}$

$3$\displaystyle{x> 0}$ より

$3$\displaystyle{x}$ $3$\displaystyle{=3}$

$3$\displaystyle{y=- \sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }}$ を代入すると

$3$\displaystyle{{x}^{2}{ $ - \sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} } $ }^{2}- 2x+9{ $ - \sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} } $ }^{2}}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{{x}^{2}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}- 2x+9\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=0}$

$3$\displaystyle{x- 2x+\frac{\hspace{2}9\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=0}$

となり， $3$\displaystyle{y=\sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }}$ と同じ式となるので，同様に

$3$\displaystyle{x=3}$

となる．

故に極値をとる候補は， $3$\displaystyle{y=\pm \sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }}$ の関係から， $3$\displaystyle{x=3}$ を代入したときに得られる $3$\displaystyle{ $ 3,\sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } $ , $ 3,- \sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } $ }$ の2点となる．

次に，上記2点( $3$\displaystyle{{y}^{\prime }=0}$ ，言い換えると， $3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{x}\left({ x,y }\right)=0}$ )における $3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }}$ を求める．この場合

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }=\frac{\hspace{2} {d}^{2}y \hspace{2}}{\hspace{2} d{x}^{2} \hspace{2}}=- \frac{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{ xx } \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{f}_{y} \hspace{2}}}$ 　･･････(2)

の関係がある．(関数の極値の定理２を参照)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{ xx }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}}\hspace{1}{f}_{x}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}x \hspace{2}} $ 2{y}^{2}x- 2 $ }$ $3$\displaystyle{=2{y}^{2}}$ 　･･････(3)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{f}_{y}=\frac{\hspace{2}{\partial}\hspace{2}}{\hspace{2} {\partial}y \hspace{2}} $ {x}^{2}{y}^{2}- 2x+9{y}^{2} $ }$ $3$\displaystyle{=2{x}^{2}y+18y}$ 　･･････(4)

(3)，(4)を(2)に代入する．

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }=- \frac{\hspace{2} 2{y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} 2{x}^{2}y+18y \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}y\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}+9 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ $ 3,\sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } $ }$ のとき $3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }}$ は，

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }=- \frac{\hspace{2} \sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } \hspace{2}}{\hspace{2} {3}^{2}+9 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 9+9 \hspace{2}}\sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 81 \hspace{2}}\sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }}$

よって

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }< 0}$

$3$\displaystyle{ $ 3,- \sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } $ }$ のとき $3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }}$ は

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }=- \frac{\hspace{2} - \sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} } \hspace{2}}{\hspace{2} {3}^{2}+9 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 9+9 \hspace{2}}\sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 81 \hspace{2}}\sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }}$

よって

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }> 0}$

以上から， $3$\displaystyle{x=3}$ のとき，極小値 $3$\displaystyle{- \sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }}$ をとり， $3$\displaystyle{x=3}$ のとき，極大値 $3$\displaystyle{\sqrt{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }}$ をとる．

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最終更新日： 2023年9月17日